1 В треугольнике ABC AB=BC=10 см, AC=12 см. Через точку B к плоскости треугольника проведен перпендикуляр BD длиной 15 см. Найдите расстояние от точки D до прямой AC.

1. Чтобы найти расстояние от точки $D$ до прямой $AC$, воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах. - Пусть $BH$ — высота равнобедренного треугольника $ABC$, проведённая к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике она также является медианой, значит $AH = HC = 12 / 2 = 6$ см. - Из прямоугольного $\triangle ABH$ по теореме Пифагора: $BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см. - Так как $BD \perp (ABC)$, то $BH$ — проекция наклонной $DH$ на плоскость. Поскольку $BH \perp AC$, то по теореме о трёх перпендикулярах $DH \perp AC$. Длина $DH$ и есть искомое расстояние. - Из прямоугольного $\triangle DBH$ по теореме Пифагора: $DH = \sqrt{BD^2 + BH^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$ см. Ответ: 17 см. 2. Рассмотрим линейный угол двугранного угла. - Пусть $A$ — точка на одной грани, $AC$ — перпендикуляр к ребру ($AC = 6\sqrt{3}$ см), $AB$ — перпендикуляр к другой грани (искомое расстояние). - Образуется прямоугольный $\triangle ABC$, где $\angle ACB = 60^\circ$ (линейный угол двугранного угла), а $AC$ — гипотенуза. - $AB = AC \cdot \sin(60^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \cdot 3 = 9$ см. Ответ: 9 см. 3. Диагональ прямоугольного параллелепипеда $d$ вычисляется по формуле $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, где $a, b, c$ — его измерения. - $d = \sqrt{7^2 + 8^2 + 10^2} = \sqrt{49 + 64 + 100} = \sqrt{213}$. Ответ: $\sqrt{213}$.