Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны BC. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

Question

Вопрос:

Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны BC. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. По условию $AM$ — медиана, значит, она делит сторону $BC$ пополам: $BM = MC = \frac{1}{2} BC$. 2. Также по условию $AM = \frac{1}{2} BC$, следовательно, $AM = BM = MC$. 3. Рассмотрим треугольники $ABM$ и $ACM$: - В $\triangle ABM$ стороны $AM = BM$, значит, он равнобедренный и $\angle MAB = \angle MBA = \alpha$. - В $\triangle ACM$ стороны $AM = MC$, значит, он равнобедренный и $\angle MAC = \angle MCA = \beta$. 4. Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^{\circ}$: $\angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180^{\circ}$ $\alpha + (\alpha + \beta) + \beta = 180^{\circ}$ $2\alpha + 2\beta = 180^{\circ}$ $2(\alpha + \beta) = 180^{\circ}$ $\alpha + \beta = 90^{\circ}$ 5. Так как $\angle BAC = \alpha + \beta$, то $\angle BAC = 90^{\circ}$. Следовательно, треугольник $ABC$ прямоугольный.

Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны BC. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

Ответ ассистента

Другие решения