Углы треугольника $ABC$ относятся так: $\angle A : \angle B : \angle C = 1:2:3$. Биссектриса $BM$ угла $ABC$ равна 12. Найдите длину отрезка $MC$.

Question

Вопрос:

Углы треугольника $ABC$ относятся так: $\angle A : \angle B : \angle C = 1:2:3$. Биссектриса $BM$ угла $ABC$ равна 12. Найдите длину отрезка $MC$.

$Углы треугольника $ABC$ относятся так: $\angle A : \angle B : \angle C = 1:2:3$. Биссектриса $BM$ угла $ABC$ равна 12. Найдите длину отрезка $MC$.$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Пусть коэффициент пропорциональности углов равен $x$. Тогда $\angle A = x$, $\angle B = 2x$, $\angle C = 3x$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$: $x + 2x + 3x = 180^{\circ} \Rightarrow 6x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 30^{\circ}$. Значит, $\angle A = 30^{\circ}$, $\angle B = 60^{\circ}$, $\angle C = 90^{\circ}$. Треугольник $ABC$ — прямоугольный. 2. Так как $BM$ — биссектриса $\angle B$, то $\angle ABM = \angle MBC = \angle B : 2 = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MCB$ (где $\angle C = 90^{\circ}$): В нём $\angle MBC = 30^{\circ}$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. $MC$ — катет против угла $30^{\circ}$, $BM$ — гипотенуза. $MC = \frac{1}{2} \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$. Ответ: 6

Углы треугольника $ABC$ относятся так: $\angle A : \angle B : \angle C = 1:2:3$. Биссектриса $BM$ угла $ABC$ равна 12. Найдите длину отрезка $MC$.

Ответ ассистента

Другие решения