БИЛЕТ 1. 1. Что такое отрезок? 2. Свойство углов равнобедренного треугольника. 3. Углы AOB и COD являются вертикальными. Угол AOB равен 138. Найдите угол COD. 4. Периметр равнобедренного треугольника равен 50 см, а одна из его сторон на 13 см больше другой. Найдите стороны треугольника.

### БИЛЕТ 1 1. **Отрезок** — это часть прямой, ограниченная двумя точками (концами отрезка). 2. **Свойство углов равнобедренного треугольника**: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 3. Вертикальные углы равны между собой. Так как $\angle AOB$ и $\angle COD$ вертикальные: $\angle COD = \angle AOB = 138^{\circ}$. **Ответ: $138^{\circ}$**. 4. Пусть одна сторона — $x$ см, тогда другая — $(x+13)$ см. В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Возможны два случая: * **Случай 1: Боковые стороны по $x$ см, основание $(x+13)$ см.** $x + x + (x+13) = 50 \Rightarrow 3x = 37 \Rightarrow x = 12\frac{1}{3}$ см. Стороны: $12\frac{1}{3}, 12\frac{1}{3}, 25\frac{1}{3}$. (Условие существования $12\frac{1}{3} + 12\frac{1}{3} < 25\frac{1}{3}$ не выполняется — треугольник не существует). * **Случай 2: Боковые стороны по $(x+13)$ см, основание $x$ см.** $(x+13) + (x+13) + x = 50 \Rightarrow 3x + 26 = 50 \Rightarrow 3x = 24 \Rightarrow x = 8$ см. Стороны: $8$ см, $21$ см, $21$ см. **Ответ: 8 см, 21 см, 21 см.** ### БИЛЕТ 2 1. **Луч** — это часть прямой, имеющая начало, но не имеющая конца. 2. **Доказательство**: В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^{\circ}$, значит, прямой угол ($90^{\circ}$) — самый большой. Напротив большего угла лежит большая сторона. Гипотенуза лежит напротив прямого угла, а катет — напротив острого, поэтому гипотенуза всегда больше катета. 3. В $\triangle ABC$: $\angle A = \angle C = 50^{\circ}$ (углы при основании). $AD$ — биссектриса $\angle A$, значит, она делит его пополам: $\angle DAC = \angle A : 2 = 50^{\circ} : 2 = 25^{\circ}$. **Ответ: $25^{\circ}$**. 4. По рисунку: $\angle 1 = 148^{\circ}$. Смежный с ним $\angle 2 = 180^{\circ} - 148^{\circ} = 32^{\circ}$. По условию $\angle 2 = \angle 3 = 32^{\circ}$. $\angle 4$ смежный с $\angle 3$, значит $\angle 4 = 180^{\circ} - \angle 3 = 180^{\circ} - 32^{\circ} = 148^{\circ}$. **Ответ: $148^{\circ}$**. ### БИЛЕТ 3 1. **Угол** — это геометрическая фигура, состоящая из точки (вершины) и двух лучей, исходящих из этой точки (сторон угла). 2. **Доказательство**: Если соответственные углы равны, то смежные с ними накрест лежащие углы также будут равны. Согласно признаку параллельности прямых, если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 3. Биссектриса делит угол пополам, значит $\angle AOB = 2 \cdot \angle AOF = 2 \cdot 62^{\circ} = 124^{\circ}$. **Ответ: $124^{\circ}$**. 4. В $\triangle ABM$: $BM = AB$, значит он равнобедренный. Углы при основании $AM$ равны: $\angle BAM = \angle BMA$. $\angle BMC = 108^{\circ}$ — внешний угол для $\triangle ABM$. Он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle BAM + \angle ABM$ (недостаточно данных для однозначного решения, если не считать $AM$ частью прямой $AC$). Если $M$ лежит на $AC$, то $\angle BMA = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}$. Тогда $\angle BAM = \angle BMA = 72^{\circ}$. **Ответ: $72^{\circ}$**. ### БИЛЕТ 4 1. **Развёрнутый угол** — это угол, стороны которого образуют прямую. Его градусная мера равна $180^{\circ}$. 2. **Теорема**: Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой (секущей), то накрест лежащие углы равны.