Кирилл задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа, но точно помнит, что их сумма равна 25, а про разность абсолютно уверен, что она меньше 15, но больше 11. Какие два числа задумал Кирилл? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Пусть задуманные натуральные числа будут $x$ и $y$ ($x \ge y$). По условию задачи составим систему ограничений: 1. $x + y = 25$ 2. $11 < x - y < 15$ Так как числа натуральные, их разность $x - y$ также должна быть целым числом. В интервале между 11 и 15 могут быть только числа 12, 13 и 14. Рассмотрим каждый случай: 1) Если $x - y = 12$: $\begin{cases} x + y = 25 \\ x - y = 12 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2x = 37$, $x = 18,5$. Число не натуральное, вариант не подходит. 2) Если $x - y = 13$: $\begin{cases} x + y = 25 \\ x - y = 13 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2x = 38$, $x = 19$. Найдём $y$: $19 + y = 25 \Rightarrow y = 6$. Числа 19 и 6 — натуральные. 3) Если $x - y = 14$: $\begin{cases} x + y = 25 \\ x - y = 14 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2x = 39$, $x = 19,5$. Число не натуральное, вариант не подходит. **Доказательство:** Сумма двух целых чисел ($x+y$) и их разность ($x-y$) всегда имеют одинаковую чётность. Так как сумма 25 — нечётное число, то и разность обязана быть нечётной. В диапазоне $11 < x - y < 15$ единственное нечётное целое число — это 13. Следовательно, других вариантов, кроме пары (19; 6), быть не может. **Ответ: 19 и 6.**