Из точки A к плоскости α проведена наклонная. Чему равен угол этой наклонной и плоскостью α, если расстояние от точки плоскости α: 1) равно проекции наклонной на плоскость α; 2) раза меньше самой наклонной?

Для решения задачи рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный перпендикуляром из точки $A$ к плоскости $\alpha$ (расстояние), наклонной и её проекцией на плоскость. Пусть $h$ — расстояние (противолежащий катет), $p$ — проекция (прилежащий катет), $L$ — наклонная (гипотенуза), а $\phi$ — искомый угол. 1) По условию $h = p$. В прямоугольном треугольнике, если катеты равны, то острые углы равны по $45^\circ$. $\text{tg } \phi = \frac{h}{p} = 1 \Rightarrow \phi = 45^\circ$. 2) По условию расстояние в 2 раза меньше наклонной: $h = \frac{1}{2}L$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. $\sin \phi = \frac{h}{L} = \frac{1}{2} \Rightarrow \phi = 30^\circ$. **Ответ: 1) 45°; 2) 30°.**