Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами, равными: а) 24 см, 25 см, 7 см; б) 15 см, 17 см, 8 см.

Для нахождения высоты треугольника по трём сторонам удобно использовать формулу Герона для площади, а затем выразить высоту. Меньшая высота всегда проведена к большей стороне. **а) Стороны: 24 см, 25 см, 7 см** 1. Найдём полупериметр $p = \frac{24 + 25 + 7}{2} = \frac{56}{2} = 28$ см. 2. Найдём площадь по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{28 \cdot (28-24) \cdot (28-25) \cdot (28-7)} = \sqrt{28 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 21} = \sqrt{(4 \cdot 7) \cdot 4 \cdot 3 \cdot (3 \cdot 7)} = \sqrt{4^2 \cdot 7^2 \cdot 3^2} = 4 \cdot 7 \cdot 3 = 84$ см². 3. Меньшая высота $h_{min}$ проведена к большей стороне $a = 25$ см: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \Rightarrow 84 = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot h \Rightarrow h = \frac{168}{25} = 6,72$ см. **б) Стороны: 15 см, 17 см, 8 см** 1. Найдём полупериметр $p = \frac{15 + 17 + 8}{2} = \frac{40}{2} = 20$ см. 2. Найдём площадь: $S = \sqrt{20 \cdot (20-15) \cdot (20-17) \cdot (20-8)} = \sqrt{20 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 12} = \sqrt{100 \cdot 36} = 10 \cdot 6 = 60$ см². 3. Меньшая высота $h_{min}$ проведена к большей стороне $a = 17$ см: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \Rightarrow 60 = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot h \Rightarrow h = \frac{120}{17} \approx 7,06$ см. **Ответ: а) 6,72 см; б) 120/17 см.**