В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро равно 6. Найдите угол между прямой $B_1D$ и плоскостью $ABC$.

### Задача 1 Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Проекцией диагонали $B_1D$ на плоскость $(ABC)$ является прямая $BD$. 1. В основании куба лежит квадрат $ABCD$ со стороной $a = 6$. Диагональ основания $BD = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$. 2. Рассмотрим прямоугольный $\triangle B_1BD$ ($\angle B = 90^\circ$): $BB_1 = 6$ (ребро), $BD = 6\sqrt{2}$. 3. $\text{tg}(\angle B_1DB) = \frac{BB_1}{BD} = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. 4. $\angle B_1DB = \text{arctg}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. **Ответ:** $\text{arctg}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. ### Задача 2 Угол между боковым ребром $SA$ и плоскостью основания — это $\angle SAO$, где $O$ — центр основания (проекция вершины $S$). 1. Находим радиус описанной окружности $R = AO$: $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12$. 2. В прямоугольном $\triangle SOA$ ($\angle O = 90^\circ$): гипотенуза $SA = 13$, катет $AO = 12$. 3. $\cos(\angle SAO) = \frac{AO}{SA} = \frac{12}{13}$. 4. $\angle SAO = \text{arccos}\left(\frac{12}{13}\right)$. **Ответ:** $\text{arccos}\left(\frac{12}{13}\right)$. ### Задача 3 а) В прямоугольном $\triangle AOB$ ($\angle O = 90^\circ$): гипотенуза $AB = 17$ см, катет (проекция) $OB = 15$ см. По теореме Пифагора: $AO = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8$ см. б) Угол между наклонной $AB$ и плоскостью $\alpha$ — это $\angle ABO$. $\sin(\angle ABO) = \frac{AO}{AB} = \frac{8}{17}$. $\angle ABO = \text{arcsin}\left(\frac{8}{17}\right)$. **Ответ:** а) 8 см; б) $\text{arcsin}\left(\frac{8}{17}\right)$.