257. Длина прямоугольника равна 28 см. На сколько квадратных сантиметров увеличится его площадь, если ширину этого прямоугольника увеличить на 3 см?

257. Пусть $a = 28$ см — длина, $b$ — ширина. Площадь $S_1 = 28 \cdot b$. При увеличении ширины на 3 см, новая ширина станет $(b + 3)$. Новая площадь $S_2 = 28 \cdot (b + 3) = 28b + 84$. Разность площадей: $S_2 - S_1 = (28b + 84) - 28b = 84$ см². **Ответ:** Площадь увеличится на 84 см². 258. Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Периметр $P_1 = 2(a + b)$, площадь $S_1 = a \cdot b$. Если увеличить стороны в 3 раза, они станут $3a$ и $3b$. Новый периметр $P_2 = 2(3a + 3b) = 2 \cdot 3(a + b) = 3 \cdot 2(a + b) = 3P_1$. Новая площадь $S_2 = (3a) \cdot (3b) = 9 \cdot a \cdot b = 9S_1$. **Ответ:** Периметр увеличится в 3 раза, площадь увеличится в 9 раз. 259. Обозначим сторону квадрата как $x$. Его периметр равен $4x$. Квадрат разбит на 6 прямоугольников. Сумма периметров всех шести прямоугольников складывается из периметра большого квадрата и «внутренних» линий разрезов. Пусть прямоугольники образованы так, что есть вертикальные и горизонтальные линии разрезов. На рисунке 6 прямоугольников. Сумма их периметров равна $4x + 2 \cdot ( ext{сумма длин всех внутренних линий})$. Для данной схемы разбиения: сумма периметров равна $4x + 2x + 4x = 10x$ (это стандартное свойство таких задач, где сумма периметров частей равна $P_{большой} + 2 \cdot L_{разрезов}$). $10x = 80$. $x = 8$ см — сторона квадрата. Площадь $S = x^2 = 8^2 = 64$ см². **Ответ:** 64 см².