1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 104°. Найдите углы при основании этого треугольника. 2. Найдите градусную меру угла BDT (рис. 56). 3. Какова градусная мера угла B, изображённого на рисунке 57? 4. Докажите, что AO = CO (рис. 58), если известно, что AB = CD и AB || CD. 5. В треугольнике DAB известно, что ∠A = 90°, ∠D = 30°, отрезок BT — биссектриса треугольника. Найдите катет DA, если DT = 8 см.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а сумма всех углов равна $180^{\circ}$. $(180^{\circ} - 104^{\circ}) : 2 = 76^{\circ} : 2 = 38^{\circ}$. **Ответ: 38^{\circ}.** 2. На рис. 56 углы $110^{\circ}$ и $\angle FNT$ являются смежными (или накрест лежащими с другими, в зависимости от расположения). Из рисунка видно, что прямые параллельны, так как соответственные углы по $110^{\circ}$ равны. Угол $BDT$ является накрест лежащим с углом $100^{\circ}$ при параллельных прямых (если рассматривать секущую $BD$ и соответствующие условия параллельности). **Ответ: 100^{\circ}.** 3. В треугольнике $ABC$ сумма углов равна $180^{\circ}$. В $\triangle ADC$: $\angle ADC = 180^{\circ} - (16^{\circ} + 25^{\circ}) = 139^{\circ}$. В $\triangle BDC$: $\angle BDC = 180^{\circ} - 139^{\circ} = 41^{\circ}$ (смежные). В $\triangle BDE$: $\angle DBE = 180^{\circ} - (41^{\circ} + 35^{\circ}) = 104^{\circ}$. **Ответ: 104^{\circ}.** 4. Рассмотрим $\triangle AOB$ и $\triangle COD$: 1) $AO = CO$ (по условию); 2) $AB = CD$ (по условию); 3) $\angle AOB = \angle COD$ (как вертикальные). Однако для равенства треугольников по двум сторонам нужен угол между ними. Если известно $AB \parallel CD$, то $\angle OAB = \angle OCD$ (накрест лежащие). Тогда $\triangle AOB = \triangle COD$ по стороне и двум прилежащим углам (или по двум сторонам и углу между ними, если $BO=OD$). Так как треугольники равны, все их элементы равны. 5. В $\triangle DAB$ ($\angle A = 90^{\circ}$), $BT$ — биссектриса. В $\triangle DBT$ сумма углов $180^{\circ}$, но нам дано $\angle D = 30^{\circ}$. В прямоугольном $\triangle DAB$: $\angle B = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. Так как $BT$ — биссектриса, то $\angle ABT = \angle DBT = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. В $\triangle TBD$ углы при основании $TD$ равны ($\angle TDB = \angle TBD = 30^{\circ}$), значит $\triangle TBD$ — равнобедренный, $BT = DT = 8$ см. В прямоугольном $\triangle TAB$ катет $AT$ лежит против угла $30^{\circ}$ ($\angle ABT$), значит $AT = \frac{1}{2} BT = 8 : 2 = 4$ см. $DA = DT + AT = 8 + 4 = 12$ см. **Ответ: 12 см.**