В правильной n-угольной призме сторона основания равна a и высота равна h. Вычислите площади боковой и полной поверхности призмы.

Для решения задачи используются формулы для правильной $n$-угольной призмы: 1. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = n \cdot a \cdot h$. 2. Площадь основания (правильного $n$-угольника): $S_{осн} = \frac{n \cdot a^2}{4 \cdot \text{tg}(\frac{180^\circ}{n})}$. 3. Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$. **а) $n=3, a=10$ см, $h=15$ см** $S_{бок} = 3 \cdot 10 \cdot 15 = 450$ см$^2$. $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}$ см$^2$. $S_{полн} = 450 + 2 \cdot 25\sqrt{3} = 450 + 50\sqrt{3}$ см$^2$. **б) $n=4, a=12$ дм, $h=8$ дм** $S_{бок} = 4 \cdot 12 \cdot 8 = 384$ дм$^2$. $S_{осн} = a^2 = 12^2 = 144$ дм$^2$. $S_{полн} = 384 + 2 \cdot 144 = 384 + 288 = 672$ дм$^2$. **в) $n=6, a=23$ см, $h=5$ дм ($50$ см)** $S_{бок} = 6 \cdot 23 \cdot 50 = 6900$ см$^2$. $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 23^2 = \frac{3\sqrt{3} \cdot 529}{2} = 793,5\sqrt{3}$ см$^2$. $S_{полн} = 6900 + 1587\sqrt{3}$ см$^2$. **г) $n=5, a=0,4$ м, $h=10$ см ($0,1$ м)** $S_{бок} = 5 \cdot 0,4 \cdot 0,1 = 0,2$ м$^2$. $S_{осн} = \frac{5 \cdot 0,4^2}{4 \cdot \text{tg}(36^\circ)} = \frac{0,2}{\text{tg}(36^\circ)} \approx \frac{0,2}{0,7265} \approx 0,275$ м$^2$. $S_{полн} = 0,2 + 2 \cdot 0,275 = 0,75$ м$^2$. **Ответ:** а) $S_{бок}=450$ см$^2$, $S_{полн}=450+50\sqrt{3}$ см$^2$; б) $S_{бок}=384$ дм$^2$, $S_{полн}=672$ дм$^2$; в) $S_{бок}=6900$ см$^2$, $S_{полн}=6900+1587\sqrt{3}$ см$^2$; г) $S_{бок}=0,2$ м$^2$, $S_{полн} \approx 0,75$ м$^2$.