Вычислите определённый интеграл и найдите площадь фигуры, ограниченной линиями.

1. Вычислим определённый интеграл: $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos 2x - \frac{1}{\cos^2 x}) dx = [\frac{1}{2}\sin 2x - \text{tg } x] \Big|_0^{\frac{\pi}{4}} = (\frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}) - \text{tg } \frac{\pi}{4}) - (\frac{1}{2}\sin 0 - \text{tg } 0) = (\frac{1}{2} \cdot 1 - 1) - (0 - 0) = 0,5 - 1 = -0,5$. **Ответ: -0,5**. 2. Найдём площадь фигуры: 1) Найдём точки пересечения графиков $y = 6 + x - x^2$ и $y = 6 - 2x$: $6 + x - x^2 = 6 - 2x$ $x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x - 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 3$. 2) Площадь $S$ вычисляется как интеграл разности функций на интервале $[0; 3]$. На этом интервале парабола $y = 6 + x - x^2$ находится выше прямой $y = 6 - 2x$: $S = \int_{0}^{3} ((6 + x - x^2) - (6 - 2x)) dx = \int_{0}^{3} (3x - x^2) dx = [\frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}] \Big|_0^3 = (\frac{3 \cdot 9}{2} - \frac{27}{3}) - 0 = 13,5 - 9 = 4,5$. **Ответ: 4,5**.