Решите задачи по геометрии № 261–265 из учебника.

261. Рассмотрим равнобедренный $\triangle ABC$, где $AB = BC$. Проведём высоты $AH \perp BC$ и $CK \perp AB$. Рассмотрим прямоугольные $\triangle ABH$ и $\triangle CBK$. У них: 1) гипотенуза $AB$ = гипотенузе $BC$ (по условию); 2) $\angle B$ — общий. Следовательно, $\triangle ABH = \triangle CBK$ по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует, что $AH = CK$. Что и требовалось доказать. 262. Пусть в прямоугольных $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ ($\angle A = \angle A_1 = 90^{\circ}$) биссектрисы $BD = B_1D_1$, $\angle B = \angle B_1$. Так как $BD$ и $B_1D_1$ — биссектрисы, то $\angle ABD = \frac{1}{2} \angle B$ и $\angle A_1B_1D_1 = \frac{1}{2} \angle B_1$. Значит, $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$. 1. $\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1$ по гипотенузе ($BD = B_1D_1$) и острому углу ($\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$). 2. Из равенства следует $AB = A_1B_1$. 3. $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по катету ($AB = A_1B_1$) и прилежащему острому углу ($\angle B = \angle B_1$). Что и требовалось доказать. 263. В четырёхугольнике $AKMH$ (где $K$ и $H$ — основания высот на $AC$ и $AB$): $\angle AKM = 90^{\circ}$, $\angle AHM = 90^{\circ}$. Сумма углов четырёхугольника $360^{\circ}$, значит $\angle A = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный и остроугольный, а высоты проведены к боковым сторонам, то $AB=AC$. Углы при основании: $\angle B = \angle C = (180^{\circ} - 40^{\circ}) : 2 = 70^{\circ}$. **Ответ: 40°, 70°, 70°.** 264. Рассмотрим $\triangle AA_1B$. Так как $AA_1$ — высота, $\angle AA_1B = 90^{\circ}$. В $\triangle AA_1B$: $\angle BAA_1 = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 67^{\circ} = 23^{\circ}$. Теперь рассмотрим $\triangle ABM$. В нём $\angle MAB = 23^{\circ}$, а из $\triangle ABB_1$ аналогично находим $\angle MBA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ}$. Тогда $\angle AMB = 180^{\circ} - (23^{\circ} + 35^{\circ}) = 122^{\circ}$. **Ответ: 122°.** 265. В равнобедренном $\triangle ABC$ с основанием $AC$: $\angle A = \angle C = (180^{\circ} - 112^{\circ}) : 2 = 34^{\circ}$. 1. Высота $AH \perp BC$, значит в $\triangle AHC$: $\angle HAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 34^{\circ} = 56^{\circ}$. 2. Биссектриса $AF$ делит $\angle A$ пополам: $\angle FAC = 34^{\circ} : 2 = 17^{\circ}$. 3. В $\triangle AHF$: $\angle HAF = \angle HAC - \angle FAC = 56^{\circ} - 17^{\circ} = 39^{\circ}$. 4. Углы $\triangle AHF$: $\angle AHF = 90^{\circ}$, $\angle HAF = 39^{\circ}$, $\angle AFH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 39^{\circ} = 51^{\circ}$. **Ответ: 90°, 39°, 51°.**