Решите Вариант 1 и Вариант 2 контрольной работы № 7.

### Вариант 1 **1. Решите систему уравнений** $\begin{cases} x - y = 5 \\ x^2 - 15y = 109 \end{cases}$ Из первого уравнения: $x = y + 5$. Подставим во второе: $(y + 5)^2 - 15y = 109 \Rightarrow y^2 + 10y + 25 - 15y - 109 = 0 \Rightarrow y^2 - 5y - 84 = 0$. По теореме Виета: $y_1 = 12, y_2 = -7$. Находим $x$: $x_1 = 12 + 5 = 17, x_2 = -7 + 5 = -2$. **Ответ: (17; 12), (-2; -7)**. **2. Найдите стороны прямоугольника** Пусть $a$ и $b$ — стороны. Периметр $P = 2(a + b) = 34 \Rightarrow a + b = 17$, Площадь $S = a \cdot b = 60$. $b = 17 - a \Rightarrow a(17 - a) = 60 \Rightarrow a^2 - 17a + 60 = 0$. По теореме Виета: $a_1 = 12, a_2 = 5$. Если $a = 12$, то $b = 5$. **Ответ: 12 см и 5 см**. **3. Решите графически систему уравнений** $\begin{cases} y = x^3 \\ y = x - 6 \end{cases}$ Построим кубическую параболу $y = x^3$ и прямую $y = x - 6$. :::div .chart-container @chart-v1-3::: Точка пересечения $(-2; -8)$. Проверка: $-8 = (-2)^3$ (верно), $-8 = -2 - 6$ (верно). **Ответ: (-2; -8)**. **4. Координаты точек пересечения** $\frac{1}{2}x^2 = 3x - 4 \Rightarrow x^2 - 6x + 8 = 0$. Корни: $x_1 = 4, x_2 = 2$. $y_1 = 3 \cdot 4 - 4 = 8, y_2 = 3 \cdot 2 - 4 = 2$. **Ответ: (4; 8), (2; 2)**. --- ### Вариант 2 **1. Решите систему уравнений** $\begin{cases} 2x - y = 5 \\ x^2 + 6y + 2 = 0 \end{cases}$ Из первого: $y = 2x - 5$. Подставим: $x^2 + 6(2x - 5) + 2 = 0 \Rightarrow x^2 + 12x - 28 = 0$. Корни: $x_1 = 2, x_2 = -14$. Находим $y$: $y_1 = 2 \cdot 2 - 5 = -1, y_2 = 2 \cdot (-14) - 5 = -33$. **Ответ: (2; -1), (-14; -33)**. **2. Найдите площадь прямоугольника** $2(a + b) = 14 \Rightarrow a + b = 7$. По теореме Пифагора для диагонали: $a^2 + b^2 = 5^2 = 25$. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \Rightarrow 7^2 = 25 + 2ab \Rightarrow 49 - 25 = 2ab \Rightarrow 2ab = 24 \Rightarrow ab = 12$. Площадь $S = ab = 12$. **Ответ: 12 см²**. **3. Решите графически систему уравнений** $\begin{cases} y = x^3 \\ y = 3 - 2x \end{cases}$ Построим кубическую параболу $y = x^3$ и прямую $y = 3 - 2x$. :::div .chart-container @chart-v2-3::: Точка пересечения $(1; 1)$. Проверка: $1 = 1^3$ (верно), $1 = 3 - 2 \cdot 1$ (верно). **Ответ: (1; 1)**. **4. Координаты точек пересечения** $3x^2 - 10 = 2x^2 + 3x \Rightarrow x^2 - 3x - 10 = 0$. Корни: $x_1 = 5, x_2 = -2$. $y_1 = 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5 = 50 + 15 = 65, y_2 = 2 \cdot (-2)^2 + 3 \cdot (-2) = 8 - 6 = 2$. **Ответ: (5; 65), (-2; 2)**.