В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а прилежащий к нему угол равен α. а) Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через b и α. б) Найдите их значения, если b = 12 см, α = 42°.

В прямоугольном треугольнике катет $b$ является прилежащим к углу $\alpha$. а) Выразим элементы треугольника через $b$ и $\alpha$: 1. Второй острый угол $\beta = 90^\circ - \alpha$. 2. Второй катет $a$ (противолежащий углу $\alpha$): из определения тангенса $\text{tg } \alpha = \frac{a}{b} \Rightarrow a = b \cdot \text{tg } \alpha$. 3. Гипотенуза $c$: из определения косинуса $\cos \alpha = \frac{b}{c} \Rightarrow c = \frac{b}{\cos \alpha}$. б) Найдем значения при $b = 12$ см, $\alpha = 42^\circ$: 1. $\beta = 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ$. 2. $a = 12 \cdot \text{tg } 42^\circ \approx 12 \cdot 0,9004 \approx 10,8$ см. 3. $c = \frac{12}{\cos 42^\circ} \approx \frac{12}{0,7431} \approx 16,15$ см. **Ответ:** а) $90^\circ - \alpha$, $b \cdot \text{tg } \alpha$, $\frac{b}{\cos \alpha}$; б) $\approx 10,8$ см, $\approx 16,15$ см.