Отрезок AB является диаметром окружности с центром O. На каждом радиусе OM окружности отложен от центра O отрезок, равный расстоянию от конца M этого радиуса до прямой AB. Найдите множество концов построенных таким образом отрезков.

Для решения задачи введём систему координат. Пусть центр окружности $O$ совпадает с началом координат $(0, 0)$. Тогда прямая $AB$, являющаяся диаметром, лежит на оси $Ox$. Уравнение прямой $AB$: $y = 0$. 1. Пусть точка $M$ лежит на окружности радиуса $R$. Её координаты: $M(R\cos\alpha, R\sin\alpha)$. 2. По условию, на каждом радиусе $OM$ отложен отрезок $OK$, длина которого равна расстоянию от точки $M$ до прямой $AB$. 3. Расстояние от точки $M(x_M, y_M)$ до прямой $y = 0$ равно модулю её ординаты: $d = |y_M| = |R\sin\alpha|$. 4. Значит, длина отрезка $OK = R|\sin\alpha|$. Точка $K$ лежит на луче $OM$, поэтому её координаты: $x = OK \cdot \cos\alpha = R|\sin\alpha|\cos\alpha$ $y = OK \cdot \sin\alpha = R|\sin\alpha|\sin\alpha = R\sin^2\alpha \cdot \text{sgn}(\sin\alpha)$ Перейдём к полярным координатам $(\rho, \phi)$, где $\rho = OK$ и $\phi = \alpha$: $\rho = R|\sin\phi|$ Это уравнение описывает две соприкасающиеся окружности радиуса $\frac{R}{2}$, центры которых лежат на оси $Oy$ в точках $(0, \frac{R}{2})$ и $(0, -\frac{R}{2})$. **Ответ: Множеством концов построенных отрезков являются две окружности радиуса $\frac{R}{2}$, касающиеся друг друга в центре исходной окружности $O$ и расположенные симметрично относительно диаметра $AB$ (их центры лежат на перпендикуляре к $AB$, проходящем через $O$).**