Вариант 1. К—4 (§ 7). 1. Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии (a_n), если a_1 = -15 и d = 3. 2. Найдите сумму шестнадцати первых членов арифметической прогрессии: 8; 4; 0; ... 3. Найдите сумму шестидесяти первых членов последовательности (b_n), заданной формулой b_n = 3n - 1. 4. Является ли число 54,5 членом арифметической прогрессии (a_n), в которой a_1 = 25,5 и a_9 = 5,5? 5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 100.

1. Используем формулу $n$-го члена: $a_n = a_1 + d(n - 1)$. $a_{23} = -15 + 3(23 - 1) = -15 + 3 \cdot 22 = -15 + 66 = 51$. **Ответ: 51**. 2. Найдём разность: $d = a_2 - a_1 = 4 - 8 = -4$. Сумма $S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$. $S_{16} = \frac{2 \cdot 8 + (-4)(16 - 1)}{2} \cdot 16 = (16 - 4 \cdot 15) \cdot 8 = (16 - 60) \cdot 8 = -44 \cdot 8 = -352$. **Ответ: -352**. 3. Последовательность $b_n = 3n - 1$ является арифметической прогрессией, где $b_1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2$, а $b_{60} = 3 \cdot 60 - 1 = 179$. $S_{60} = \frac{b_1 + b_{60}}{2} \cdot 60 = \frac{2 + 179}{2} \cdot 60 = 181 \cdot 30 = 5430$. **Ответ: 5430**. 4. Сначала найдём разность $d$: $a_9 = a_1 + 8d \Rightarrow 5,5 = 25,5 + 8d \Rightarrow 8d = -20 \Rightarrow d = -2,5$. Проверим число 54,5: $54,5 = 25,5 + (-2,5)(n - 1) \Rightarrow 29 = -2,5(n - 1)$. $n - 1 = 29 : (-2,5) = -11,6 \Rightarrow n = -10,6$. Так как $n$ должно быть натуральным числом, число 54,5 не является членом прогрессии. **Ответ: нет**. 5. Числа, кратные 3: $3, 6, 9, \dots, 99$. Это прогрессия, где $a_1 = 3$, $d = 3$, $a_n = 99$. Найдём количество членов: $99 = 3 + 3(n - 1) \Rightarrow 96 = 3(n - 1) \Rightarrow n - 1 = 32 \Rightarrow n = 33$. $S_{33} = \frac{3 + 99}{2} \cdot 33 = 51 \cdot 33 = 1683$. **Ответ: 1683**.