№ 1. Отрезок АВ является отрезком касательной к окружности с центром О, где В — точка касания. Найдите длину отрезка АВ, если ∠АОВ = 45°, а диаметр окружности равен 22 см.

№ 1. 1. Радиус $OB$ перпендикулярен касательной $AB$ в точке касания $B$, значит, $\triangle OBA$ — прямоугольный ($\angle OBA = 90^\circ$). 2. Найдём радиус $OB$: $R = d : 2 = 22 : 2 = 11$ см. 3. В $\triangle OBA$: $\angle AOB = 45^\circ$, следовательно, $\angle OAB = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Треугольник равнобедренный, $AB = OB = 11$ см. Ответ: 11 см. № 2. 1. По свойству касательных, проведённых из одной точки, $BO$ — биссектриса $\angle AOC$, значит, $\angle AOB = \angle AOC : 2 = 60^\circ : 2 = 30^\circ$. 2. В прямоугольном $\triangle OBA$ ($OB$ — гипотенуза, $OA$ — радиус, $OA = 10$ см): $\cos(\angle AOB) = \frac{OA}{BO}$. 3. $BO = \frac{OA}{\cos 30^\circ} = \frac{10}{\sqrt{3}/2} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$ см. Ответ: $\frac{20\sqrt{3}}{3}$ см. № 3. 1. $\angle ABO = 90^\circ$ и $\angle ACO = 90^\circ$ (радиусы в точки касания). 2. $\triangle OBA = \triangle OCA$ (по гипотезе и катету), значит, $\angle BOA = \angle COA = 80^\circ : 2 = 40^\circ$. 3. $\angle BOC = 80^\circ$ (дано по рисунку). 4. В $\triangle OBA$: $\angle OAB = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$. Аналогично в $\triangle OCA$: $\angle OAC = 50^\circ$. 5. $\angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = 50^\circ + 50^\circ = 100^\circ$. Ответ: $\angle ABO=90^\circ, \angle ACO=90^\circ, \angle OAC=50^\circ, \angle BAC=100^\circ, \angle BOA=40^\circ, \angle AOC=40^\circ, \angle BOC=80^\circ$.