Решите уравнение x³ - 6x² = 9x - 54. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 90 км/ч, а вторую — со скоростью 54 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

20. Решите уравнение $x^3 - 6x^2 = 9x - 54$. Перенесем все члены в левую часть: $x^3 - 6x^2 - 9x + 54 = 0$ Сгруппируем слагаемые: $(x^3 - 6x^2) - (9x - 54) = 0$ $x^2(x - 6) - 9(x - 6) = 0$ $(x - 6)(x^2 - 9) = 0$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $x - 6 = 0 \Rightarrow x_1 = 6$ 2) $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x_2 = 3, x_3 = -3$ **Ответ: -3; 3; 6.** 21. Пусть $S$ — вся длина трассы. Тогда первая половина пути — $0,5S$, вторая половина — $0,5S$. 1) Время на первом участке: $t_1 = \frac{0,5S}{90} = \frac{S}{180}$ ч. 2) Время на втором участке: $t_2 = \frac{0,5S}{54} = \frac{S}{108}$ ч. 3) Средняя скорость $V_{ср} = \frac{S}{t_1 + t_2} = \frac{S}{\frac{S}{180} + \frac{S}{108}} = \frac{1}{\frac{1}{180} + \frac{1}{108}} = \frac{1}{\frac{3 + 5}{540}} = \frac{540}{8} = 67,5$ км/ч. **Ответ: 67,5 км/ч.** 22. Постройте график функции $y = |x|(x + 1) - 2x$. Раскроем модуль: 1) Если $x \ge 0$, то $y = x(x + 1) - 2x = x^2 + x - 2x = x^2 - x$. 2) Если $x < 0$, то $y = -x(x + 1) - 2x = -x^2 - x - 2x = -x^2 - 3x$. :::div .chart-container @chart-1::: Прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки в вершинах парабол: 1) Вершина $y = x^2 - x$: $x_0 = \frac{-(-1)}{2} = 0,5$; $y_0 = 0,5^2 - 0,5 = -0,25$. 2) Вершина $y = -x^2 - 3x$: $x_0 = \frac{-(-3)}{2 \cdot (-1)} = -1,5$; $y_0 = -(-1,5)^2 - 3(-1,5) = -2,25 + 4,5 = 2,25$. **Ответ: -0,25; 2,25.** 23. В ромбе $HPTK$ сторона $TK = KM + TM = 21 + 54 = 75$. Поскольку $HM$ — высота, треугольник $HTM$ прямоугольный. В прямоугольном $\triangle HTM$ по теореме Пифагора: $HM^2 = HT^2 - TM^2$. Так как это ромб, все стороны равны: $HT = TK = 75$. $HM = \sqrt{75^2 - 54^2} = \sqrt{(75 - 54)(75 + 54)} = \sqrt{21 \cdot 129} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 43} = 3\sqrt{301}$. **Ответ: $3\sqrt{301}$.** 24. В трапеции $KNPT$ основания $NP=14$, $KT=56$, боковая сторона $NT=28$. Рассмотрим $\triangle FNT$ и $\triangle NTK$ (если $F$ — точка пересечения продолжений боковых сторон, но в условии, вероятно, опечатка и речь о $\triangle PNT$ и $\triangle NTK$). Проверим отношение сторон: $\frac{NP}{NT} = \frac{14}{28} = 0,5$; $\frac{NT}{KT} = \frac{28}{56} = 0,5$. Углы $\angle PNT = \angle NTK$ как накрест лежащие при $NP \parallel KT$. Таким образом, треугольники подобны по второму признаку (две стороны пропорциональны и углы между ними равны).