г) sin 2x + 4 cos² x = 1.

Для решения тригонометрического уравнения $\sin 2x + 4\cos^2 x = 1$ воспользуемся формулами двойного угла и основным тригонометрическим тождеством. 1. Разложим $\sin 2x$ по формуле $2\sin x \cos x$ и представим единицу как $\sin^2 x + \cos^2 x$: $2\sin x \cos x + 4\cos^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x$ 2. Перенесём все слагаемые в одну сторону: $\sin^2 x - 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$ 3. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$ (при условии $\cos x \neq 0$, так как если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно одновременно): $\text{tg}^2 x - 2\text{tg} x - 3 = 0$ 4. Решим квадратное уравнение относительно $t = \text{tg} x$: $t^2 - 2t - 3 = 0$ $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$ $t_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3; \quad t_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$ 5. Вернёмся к переменной $x$: $\text{tg} x = 3 \Rightarrow x = \text{arctg } 3 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $\text{tg} x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $x = \text{arctg } 3 + \pi k, k \in \mathbb{Z}; x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$**