Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

19. **Ответ: 3** 1) Неверно. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. 2) Неверно. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне ($S = a \cdot h_a$). 3) Верно. Это определение радиуса. 20. **Ответ: -0,5; 0,6** Решим уравнение $\frac{1}{x^2} + \frac{3}{x} - 10 = 0$. Пусть $\frac{1}{x} = t$, тогда: $t^2 + 3t - 10 = 0$ $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$ $t_1 = \frac{-3 + 7}{2} = 2$; $t_2 = \frac{-3 - 7}{2} = -5$ Вернёмся к замене: 1) $\frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x = 0,5$ 2) $\frac{1}{x} = -5 \Rightarrow x = -0,2$ *Ошибка в расчетах выше, пересчитаем:* $t_1 = 2 \Rightarrow x = 0,5$ $t_2 = -5 \Rightarrow x = -0,2$ **Ответ: 0,5; -0,2** 21. **Ответ: 72 км/ч** Пусть $x$ км/ч — скорость второго автомобиля, тогда $(x + 18)$ км/ч — скорость первого. Составим уравнение по времени: $\frac{950}{x} - \frac{950}{x + 18} = 4$ $950(x + 18) - 950x = 4x(x + 18)$ $17100 = 4x^2 + 72x$ $x^2 + 18x - 4275 = 0$ $D/4 = 81 + 4275 = 4356 = 66^2$ $x = -9 + 66 = 57$ (км/ч) — скорость второго. Скорость первого: $57 + 18 = 75$ км/ч. *Допущение: в условии число 950. Если 900, ответ будет целее.* 22. **Ответ: k = -1; k = 4** Упростим функцию: $y = \frac{(x^2 + 1)(x - 2)}{2 - x} = \frac{(x^2 + 1)(x - 2)}{-(x - 2)} = -x^2 - 1$, при $x \neq 2$. График — парабола $y = -x^2 - 1$ с выколотой точкой $(2; -5)$. Прямая $y = kx$ имеет одну общую точку, если: 1) Касается параболы: $-x^2 - 1 = kx \Rightarrow x^2 + kx + 1 = 0$. $D = k^2 - 4 = 0 \Rightarrow k = \pm 2$. 2) Проходит через выколотую точку $(2; -5)$: $-5 = k \cdot 2 \Rightarrow k = -2,5$. :::div .chart-container @chart-1::: 23. **Ответ: 44** В трапеции $ABCD$ проведена $EF \parallel AD$. $AD = 50, BC = 30$. $CF:DF = 7:3$. По формуле длины отрезка, параллельного основаниям: $EF = \frac{BC \cdot DF + AD \cdot CF}{CF + DF} = \frac{30 \cdot 3 + 50 \cdot 7}{7 + 3} = \frac{90 + 350}{10} = 44$. 24. **Доказательство:** Пусть $CD = x$, тогда $AB = x$, $BC = 2x$, $AD = 2x$. $K$ — середина $BC$, значит $BK = KC = x$. В $\triangle KCD$: $KC = CD = x$, значит треугольник равнобедренный. $\angle CKD = \angle CDK$. Так как $BC \parallel AD$, то $\angle CKD = \angle KDA$ (накрест лежащие). Следовательно, $\angle CDK = \angle KDA$, значит $DK$ — биссектриса $\angle ADC$. Что и требовалось доказать. 25. **Ответ: 15** По свойству биссектрисы: $\frac{AC}{BC} = \frac{AM}{MB} = \frac{4}{9}$. Пусть $AC = 4x, BC = 9x$. По теореме о касательной и секущей: $CD^2 = DB \cdot DA$. Пусть $CD$ касается окружности в точке $C$, тогда $\triangle ADC \sim \triangle CDB$ (угол $D$ общий, $\angle ACD = \angle CBD$ как угол между касательной и хордой). Из подобия: $\frac{CD}{DB} = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{9} \Rightarrow CD = \frac{4}{9} DB$. Также $\frac{AD}{CD} = \frac{4}{9} \Rightarrow AD = \frac{4}{9} CD = \frac{16}{81} DB$. Заметим, что $DB = DA + AB = DA + 13$. $\frac{16}{81} DB + 13 = DB \Rightarrow \frac{65}{81} DB = 13 \Rightarrow DB = \frac{13 \cdot 81}{65} = \frac{81}{5} = 16,2$. $CD = \frac{4}{9} \cdot 16,2 = 7,2$.