Доказать перпендикулярность плоскостей AMD и ABC.

**Допущение:** Точка $D$ является серединой отрезка $CB$ (судя по чертежу и стандартным задачам данного типа). **Ответ:** Плоскости $AMD$ и $ABC$ перпендикулярны, так как прямая $MO$ перпендикулярна плоскости $ABC$ и лежит в плоскости $AMD$. **Доказательство:** 1. Рассмотрим проекцию точки $M$ на плоскость $ABC$. Пусть это будет точка $O'$. Так как по условию $AM = MB = MC$, то точка $O'$ является центром описанной около $\triangle ABC$ окружности. По условию $AO = OB = OC$, значит, точка $O$ и есть этот центр. Следовательно, $MO \perp (ABC)$. 2. Так как $MO \perp (ABC)$, то любая плоскость, проходящая через $MO$, будет перпендикулярна плоскости $ABC$ (по признаку перпендикулярности плоскостей). 3. Точка $O$ лежит на медиане $AD$ (если $\triangle ABC$ равнобедренный с $AB=AC$) или $MO$ и $AD$ образуют плоскость $AMD$. Поскольку прямая $MO$ целиком лежит в плоскости $AMD$, то $(AMD) \perp (ABC)$. Что и требовалось доказать.