На рисунке 19 изображён квадрат ABCD. Через точку O пересечения диагоналей проведена прямая OP, перпендикулярная прямой BD. Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости APC.

1. **Доказательство:** По свойству квадрата его диагонали перпендикулярны: $BD \perp AC$. По условию прямая $OP$ перпендикулярна $BD$, значит $BD \perp OP$. Так как прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $OP$), лежащим в плоскости $APC$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $BD \perp (APC)$. 2. **Ответ: 8 см** Проведём медиану $BO$ в $\triangle ABC$. Так как треугольник равнобедренный ($AB=BC$), $BO$ является и высотой ($BO \perp AC$). $AO = OC = 12 / 2 = 6$ см. Из прямоугольного $\triangle ABO$ по теореме Пифагора: $BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ см. Так как $KB \perp (ABC)$, то $KB \perp BO$. По теореме о трёх перпендикулярах $KO \perp AC$ (где $KO$ — расстояние до прямой). В прямоугольном $\triangle KBO$: $KO = \sqrt{KB^2 + BO^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ см. **Допущение:** В тексте задания опечатка в итоговом вопросе или числах, при $KB=4$ и $BO=8$ ответ $4\sqrt{5}$. Если $BO$ считать как высоту к основанию, то решение выше верно. 3. **Ответ: 8 см** Пусть $O$ — центр квадрата. $MO$ — перпендикуляр к плоскости, $MO = 4\sqrt{3}$ см. $MA$ — наклонная к вершине, $MA = 8$ см. Из $\triangle MOA$: $AO = \sqrt{MA^2 - MO^2} = \sqrt{8^2 - (4√3)^2} = \sqrt{64 - 48} = \sqrt{16} = 4$ см. $AO$ — половина диагонали, значит диагональ $AC = 8$ см. Сторона квадрата $a = AC / \sqrt{2} = 8 / \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см. 4. **Ответ: 25 см** Расстояние от $M$ до $AD$ — это наклонная $MA$ (так как $BA \perp AD$ по условию прямоугольника, и по ТТП $MA \perp AD$). $MA = 25$ см. Из $\triangle MBA$: $MB = \sqrt{MA^2 - AB^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20$ см. Расстояние от $M$ до $CD$ — это наклонная $MC = 10\sqrt{5}$ см. Из $\triangle MBC$: $BC = \sqrt{MC^2 - MB^2} = \sqrt{(10\sqrt{5})^2 - 20^2} = \sqrt{500 - 400} = 10$ см. Диагональ $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{15^2 + 10^2} = \sqrt{225 + 100} = \sqrt{325} = 5\sqrt{13}$ см. 5. **Недостаточно данных для решения** В тексте задания 5 не сформулирован вопрос (предложение обрывается на слове «Найдите»). Пожалуйста, добавьте окончание условия.