Доказать перпендикулярность плоскостей AMD и ABC.

**Допущение: $O$ — точка пересечения медиан (центроид) равностороннего треугольника $ABC$, а $M$ — вершина пирамиды, причём $MA = MB = MC$.** **Доказательство:** 1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Судя по отметкам на чертеже, $AB = BC = AC$, значит $\triangle ABC$ — равносторонний. 2. Точка $D$ лежит на стороне $BC$. По чертежу $AD$ является медианой, так как она проходит через центр $O$ к стороне $BC$. В равностороннем треугольнике медиана $AD$ также является высотой, следовательно, $AD \perp BC$. 3. По условию (отметки на ребрах) $MA = MB = MC$. Это означает, что вершина $M$ равноудалена от вершин основания. Следовательно, проекция вершины $M$ на плоскость $(ABC)$ попадает в центр описанной окружности треугольника $ABC$. В равностороннем треугольнике этот центр совпадает с точкой пересечения медиан $O$. Значит, $MO \perp (ABC)$. 4. Так как прямая $MO$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая $AD$. Прямая $MO$ целиком лежит в плоскости $(AMD)$. 5. По признаку перпендикулярности плоскостей: если плоскость $(AMD)$ проходит через прямую $MO$, перпендикулярную плоскости $(ABC)$, то плоскости $(AMD)$ и $(ABC)$ перпендикулярны. Что и требовалось доказать.