Доказать перпендикулярность плоскостей AMD и ABC.

**Допущение:** На чертеже штрихами отмечены равные отрезки: $AM = BM$, $AD = BD$ и $AO = BO = CO$ (точка $O$ — центр описанной окружности $\triangle ABC$). Из чертежа также видно, что точка $M$ проектируется в точку $O$, то есть $MO \perp (ABC)$. **Доказательство:** 1. Рассмотрим $\triangle AMB$ и $\triangle ADB$. По условию (отмечено штрихами): - $\triangle AMB$ — равнобедренный ($AM = BM$); - $\triangle ADB$ — равнобедренный ($AD = BD$). 2. Пусть точка $K$ — середина стороны $AB$. Тогда в равнобедренных треугольниках медианы $MK$ и $DK$ являются также высотами: - $MK \perp AB$ - $DK \perp AB$ 3. Так как прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $MK$ и $DK$ плоскости $(MKD)$ (или $(AMD)$, так как $K$ лежит на $AB$), то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости: $AB \perp (MKD)$. 4. Прямая $AB$ лежит в плоскости $(ABC)$. Если плоскость $(ABC)$ содержит прямую $AB$, которая перпендикулярна плоскости $(AMD)$, то по признаку перпендикулярности плоскостей: $(AMD) \perp (ABC)$. *Примечание:* Также перпендикулярность следует из того, что высота пирамиды $MO$ лежит в плоскости $AMD$, если точки $A, O, D$ лежат на одной прямой (биссектрисе/медиане угла $A$ в равнобедренной конструкции), тогда любая плоскость, проходящая через перпендикуляр к плоскости ($MO \perp ABC$), перпендикулярна этой плоскости.