Из точки M, не принадлежащей плоскости прямого угла, проведены перпендикуляры MK и MF к его сторонам. Известно, что MK = MF = 8 см, а расстояние от точки M до плоскости угла равно 2√7 см. Найдите расстояние от точки M до вершины угла.

Ответ: 10 **Решение:** 1. Пусть $O$ — вершина прямого угла, а плоскость этого угла — $\alpha$. Проведем перпендикуляр $MO$ к плоскости $\alpha$. Длина этого перпендикуляра — это и есть расстояние от точки $M$ до плоскости, то есть $MO = 2\sqrt{7}$ см. 2. По условию $MK \perp OK$ и $MF \perp OF$ (где $OK$ и $OF$ — стороны прямого угла). По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонные $MK$ и $MF$ перпендикулярны сторонам угла, то и их проекции $OK$ и $OF$ также перпендикулярны этим сторонам. 3. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MKO$ и $\triangle MFO$. Они равны по гипотенузе $MO$ и катету ($MK = MF = 8$ см). 4. Из треугольника $\triangle MKO$ по теореме Пифагора найдем проекцию $OK$: $OK^2 = MK^2 - MO^2$ $OK^2 = 8^2 - (2\sqrt{7})^2 = 64 - 4 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$ $OK = \sqrt{36} = 6$ см. 5. Так как стороны угла перпендикулярны ($OK \perp OF$), а проекции $OK$ и $OF$ также перпендикулярны сторонам, то четырехугольник $OKVF$ (где $V$ — вершина угла, на чертеже обозначена как $O$) является прямоугольником. В нашем случае, так как $MK=MF$, то и $OK=OF=6$, значит это квадрат. 6. Расстояние от точки $M$ до вершины угла $O$ — это гипотенуза в прямоугольном треугольнике $\triangle MKO$ (или $\triangle MVO$ в зависимости от обозначений на чертеже). Нас просят найти $MO$ до вершины. Но в условии сказано, что $MO$ — это расстояние до плоскости. Перечитаем: нужно найти расстояние от $M$ до вершины угла ($D$ на рисунке). 7. Расстояние от проекции точки $M$ (точки $O$ на чертеже) до вершины угла $D$ в квадрате $OKDF$ равно гипотенузе $OD$: $OD^2 = OK^2 + KD^2 = 6^2 + 6^2 = 72$. 8. Теперь из прямоугольного треугольника $\triangle MOD$ найдем гипотенузу $MD$ (расстояние до вершины): $MD = \sqrt{MO^2 + OD^2} = \sqrt{(2\sqrt{7})^2 + 72} = \sqrt{28 + 72} = \sqrt{100} = 10$ см.