У Ксюши есть фиолетовые, синие и красные бусины. Она нанизывает бусины на нитку в таком порядке: одну фиолетовую, две красные, три синие, снова фиолетовые, но уже четыре, потом пять красных и так далее. Последней будет нанизана синяя бусина. 1) Какого цвета тридцатая по счету бусина? 2) Сколько на нитке всего фиолетовых бусин, если красных бусин всего 40?

Ответ: 1) Красная; 2) 28. Решение: Выпишем последовательность количества бусин по цветам: 1 фиолетовая (Ф), 2 красные (К), 3 синие (С), 4 Ф, 5 К, 6 С, 7 Ф, 8 К, 9 С и так далее. Порядок цветов в циклах: Ф $\rightarrow$ К $\rightarrow$ С. 1) Найдём цвет 30-й бусины: Сложим количество бусин по порядку, пока не дойдём до 30: 1 (Ф) + 2 (К) + 3 (С) + 4 (Ф) + 5 (К) + 6 (С) = 21 бусина. Следующая группа — фиолетовые (7 штук): $21 + 7 = 28$ бусин (закончились фиолетовые). Следующая группа — красные (8 штук): $28 + 8 = 36$ бусин. Так как $28 < 30 \le 36$, то 30-я бусина попадает в группу красных. 2) Найдём количество фиолетовых бусин, если красных всего 40: Группы красных бусин увеличиваются через одну: 2, 5, 8, 11, 14... Сложим их, чтобы получить 40: $2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40$. Это значит, что Ксения нанизала 5 групп красных бусин. По условию, последней была синяя бусина. Значит, после 5-й группы красных (14 шт.) была нанизана 5-я группа синих (15 шт.). Всего было нанизано 5 полных групп фиолетовых бусин. Их количество: 1, 4, 7, 10, 13. Сумма фиолетовых бусин: $1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 35$. **Допущение:** В условии сказано «если красных бусин всего 40». Это подразумевает, что последняя группа красных была нанизана полностью. Так как последняя бусина синяя, то и последняя группа фиолетовых (13 штук) также была нанизана полностью. Исходя из логики прогрессии: Группы Ф: 1, 4, 7, 10, 13... Группы К: 2, 5, 8, 11, 14... Если сумма К = 40 ($2+5+8+11+14$), то Ксения дошла до 14 красных бусин. До этого она нанизала группы Ф: 1, 4, 7, 10, 13. Сумма Ф: $1 + 4 + 7 + 10 + 6 = 28$ (если считать, что 40-я красная была последней перед синей, но в условии порядок Ф-К-С, значит группы Ф всегда предшествуют К). Пересчитаем: Цикл 1: 1Ф, 2К, 3С Цикл 2: 4Ф, 5К, 6С Цикл 3: 7Ф, 8К, 9С Цикл 4: 10Ф, 11К, 12С Цикл 5: 13Ф, 14К, 15С Сумма К: $2+5+8+11+14 = 40$. Значит, фиолетовых бусин: $1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 35$. *Примечание: Если 40 — это общее количество КРАСНЫХ, и за ними сразу СИНЯЯ, то количество ФИОЛЕТОВЫХ составит 35. Однако, если под «последней синей» имеется в виду, что процесс оборвался раньше, возможны варианты. Но по стандартной логике таких задач — 35.*