1. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 5 см, а диагональ боковой грани равна 13 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы. 2. Основанием прямой призмы является ромб с острым углом 60° и меньшей диагональю 6 см. Площадь боковой поверхности призмы 72√3 см². Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и большую диагональ основания.

Question

Вопрос:

1. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 5 см, а диагональ боковой грани равна 13 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы. 2. Основанием прямой призмы является ромб с острым углом 60° и меньшей диагональю 6 см. Площадь боковой поверхности призмы 72√3 см². Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и большую диагональ основания.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. **Ответ: $S_{бок} = 180\text{ см}^2, S_{полн} = (180 + 72\sqrt{3})\text{ см}^2$.** **Решение:** Боковая грань правильной треугольной призмы — прямоугольник. Пусть $h = 5\text{ см}$ (высота/боковое ребро), $d = 13\text{ см}$ (диагональ грани), $a$ — сторона основания. 1. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника (грани): $a^2 + h^2 = d^2 \Rightarrow a = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\text{ (см)}$. 2. Периметр основания: $P = 3a = 3 \cdot 12 = 36\text{ (см)}$. 3. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P \cdot h = 36 \cdot 5 = 180\text{ (см}^2)$. 4. Площадь основания (правильный треугольник): $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}\text{ (см}^2)$. 5. Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 180 + 2 \cdot 36\sqrt{3} = 180 + 72\sqrt{3}\text{ (см}^2)$. --- 2. **Ответ: $18\sqrt{3}\text{ см}^2$.** **Решение:** 1. В основании ромб с острым углом $60^\circ$. Меньшая диагональ $d_1 = 6\text{ см}$ лежит против угла $60^\circ$, значит, она разбивает ромб на два равносторонних треугольника. Следовательно, сторона ромба $a = d_1 = 6\text{ см}$. 2. Большая диагональ ромба $d_2$ вычисляется по формуле: $d_2 = 2 \cdot a \cdot \cos(30^\circ) = 2 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\text{ (см)}$. 3. Периметр основания: $P = 4a = 4 \cdot 6 = 24\text{ (см)}$. 4. Из формулы $S_{бок} = P \cdot h$ найдем высоту призмы $h$: $72\sqrt{3} = 24 \cdot h \Rightarrow h = \frac{72\sqrt{3}}{24} = 3\sqrt{3}\text{ (см)}$. 5. Сечение, проходящее через боковое ребро и большую диагональ основания, — это прямоугольник со сторонами $d_2$ и $h$. 6. Площадь сечения: $S_{сеч} = d_2 \cdot h = 6\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 18 \cdot 3 = 54\text{ (см}^2)$. **Допущение:** В расчетах выше $18 \cdot 3 = 54$. Перепроверим: $6 \cdot 3 = 18$, $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$. Итого $18 \cdot 3 = 54$.

Ответ ассистента

Другие решения