Внутри угла дана точка A. Постройте прямую, проходящую через точку A и отсекающую на сторонах угла равные отрезки.

**Ответ:** Прямая должна быть перпендикулярна биссектрисе данного угла. **Решение (алгоритм построения):** Чтобы прямая отсекала на сторонах угла равные отрезки, она должна вместе с этими сторонами образовывать равнобедренный треугольник. 1. Постройте биссектрису данного угла (пусть вершина угла — точка $O$). 2. Проведите через точку $A$ прямую, которая будет перпендикулярна этой биссектрисе. **Обоснование:** Пусть $l$ — биссектриса угла, а построенная прямая пересекает стороны угла в точках $M$ и $N$. Биссектриса в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является также его высотой. Поскольку мы провели прямую $MN \perp l$, то треугольник $OMN$ будет равнобедренным по признаку (высота совпадает с биссектрисой), следовательно, $OM = ON$, что и требовалось по условию.