Укажите допустимые значения переменной в выражении

**11. Укажите допустимые значения переменной в выражении:** Допустимые значения переменной (ДЗП) — это все значения, при которых выражение имеет смысл. Для дроби это означает, что знаменатель не должен быть равен нулю. а) $x^2 - 8x + 9$: $x$ — любое число. б) $\frac{1}{6x-3}$: $6x - 3 \neq 0 \Rightarrow 6x \neq 3 \Rightarrow x \neq 0,5$. в) $\frac{3x-6}{7}$: $x$ — любое число. г) $\frac{x^2-8}{4x(x+1)}$: $4x(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq -1$. д) $\frac{x-5}{x^2+25} - 3x$: $x^2+25$ всегда больше нуля, значит $x$ — любое число. е) $\frac{x}{x+8} + \frac{x-8}{x}$: $x+8 \neq 0$ и $x \neq 0 \Rightarrow x \neq -8$ и $x \neq 0$. **12. Найдите допустимые значения переменной в выражении:** а) $\frac{5y-8}{11}$: $y$ — любое число. б) $\frac{25}{y-9}$: $y-9 \neq 0 \Rightarrow y \neq 9$. в) $\frac{y^2+1}{y^2-2y}$: $y(y-2) \neq 0 \Rightarrow y \neq 0$ и $y \neq 2$. г) $\frac{y-10}{y^2+3}$: $y^2+3$ всегда больше нуля, значит $y$ — любое число. д) $\frac{y}{y-6} - \frac{15}{y+6}$: $y-6 \neq 0$ и $y+6 \neq 0 \Rightarrow y \neq 6$ и $y \neq -6$. е) $\frac{32}{y} - \frac{y+1}{y+7}$: $y \neq 0$ и $y+7 \neq 0 \Rightarrow y \neq 0$ и $y \neq -7$. **13. Найдите область определения функции:** а) $y = \frac{1}{x-2}$: $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$. б) $y = \frac{2x+3}{x(x+1)}$: $x(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq -1$. в) $y = x + \frac{1}{x+5}$: $x+5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$. **14. При каком значении переменной значение дроби $\frac{x-8}{5}$ равно:** а) 1: $x-8 = 5 \Rightarrow x = 13$. б) 0: $x-8 = 0 \Rightarrow x = 8$. в) -1: $x-8 = -5 \Rightarrow x = 3$. г) 3: $x-8 = 15 \Rightarrow x = 23$. **15. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби:** Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. а) $\frac{y-5}{8}$: $y-5 = 0 \Rightarrow y = 5$. б) $\frac{2y+3}{10}$: $2y+3 = 0 \Rightarrow 2y = -3 \Rightarrow y = -1,5$. в) $\frac{x(x-1)}{x+4}$: $x(x-1) = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = 1$. (Оба значения допустимы, так как $x+4 \neq 0$). г) $\frac{x(x+3)}{2x+6}$: $x(x+3) = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = -3$. Но при $x = -3$ знаменатель $2(-3)+6 = 0$. Ответ: $x = 0$. **16. Найдите значения переменной, при которых равно нулю значение дроби:** а) $\frac{m+4}{6}$: $m = -4$. б) $\frac{7-5n}{11}$: $7-5n = 0 \Rightarrow 5n = 7 \Rightarrow n = 1,4$. в) $\frac{b^2-b}{b+2}$: $b(b-1) = 0 \Rightarrow b = 0$ или $b = 1$. г) $\frac{y^2-25}{3y-15}$: $(y-5)(y+5) = 0 \Rightarrow y=5$ или $y=-5$. Но при $y=5$ знаменатель $3(5)-15 = 0$. Ответ: $y = -5$. **17. Определите знак дроби $\frac{a}{b}$, если известно, что:** а) $a > 0, b > 0$: $\frac{+}{+} = +$ (положительна). б) $a > 0, b < 0$: $\frac{+}{-} = -$ (отрицательна). в) $a < 0, b > 0$: $\frac{-}{+} = -$ (отрицательна). г) $a < 0, b < 0$: $\frac{-}{-} = +$ (положительна). **18. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби:** а) $\frac{3}{x^2+1}$ положительно: $3 > 0$, а $x^2+1 \ge 1$ (всегда положительно). Частное двух положительных чисел положительно. б) $\frac{-5}{y^2+4}$ отрицательно: $-5 < 0$, а $y^2+4 \ge 4$ (положительно). Частное отрицательного и положительного отрицательно. в) $\frac{(a-1)^2}{a^2+10}$ неотрицательно: $(a-1)^2 \ge 0$, а $a^2+10 > 0$. Значит $\frac{\ge 0}{> 0} \ge 0$. г) $\frac{(b-3)^2}{-b^2-1}$ неположительно: $(b-3)^2 \ge 0$, а $-b^2-1 = -(b^2+1) < 0$. Значит $\frac{\ge 0}{< 0} \le 0$. **19. При каком значении $a$ принимает наибольшее значение дробь:** Дробь с постоянным положительным числителем максимальна, когда её положительный знаменатель минимален. а) $\frac{4}{a^2+5}$: $a^2+5$ минимально при $a=0$ (равно 5). Ответ: $a = 0$. б) $\frac{10}{(a-3)^2+1}$: $(a-3)^2+1$ минимально при $a-3=0 \Rightarrow a=3$ (равно 1). Ответ: $a = 3$.