Вариант 2. 1. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида и определите его степень.

1. **Ответ: а) $4a^2 + 2b - 3a + 2ab$, степень 2; б) $3a^2 + 3ab + 9b$, степень 2.** Решение: а) Приведём подобные слагаемые: $3a^2 + 2b - 3a + 5ab + 2a + a^2 + 3b^2 - 6b - 3ab - 3b^2 - 2ab = (3a^2 + a^2) + (3b^2 - 3b^2) + (5ab - 3ab - 2ab) + (2b - 6b) + (-3a + 2a) = 4a^2 + 0 + 0 - 4b - a = 4a^2 - 4b - a$. *Уточнение:* В тексте задания «$2a$» и «$-3a$» дают «$-a$». Степень многочлена — это наибольшая из степеней его одночленов. Для $4a^2$ степень равна 2. б) Раскроем скобки и приведём подобные: $3a(4a + 3b) - 9b(a - b) - 12a^2 - 8b^2 + 2ab = 12a^2 + 9ab - 9ab + 9b^2 - 12a^2 - 8b^2 + 2ab = (12a^2 - 12a^2) + (9ab - 9ab + 2ab) + (9b^2 - 8b^2) = 2ab + b^2$. Степень многочлена: $2ab$ (степень $1+1=2$), $b^2$ (степень 2). Итоговая степень — 2. 2. **Ответ: а) $4b(b^2 + 2b - 3)$; б) $4x^2y(3xy^3 - 2y^2 + x)$.** Решение: а) Выносим общий множитель $4b$: $4b^3 + 8b^2 - 12b = 4b · b^2 + 4b · 2b - 4b · 3 = 4b(b^2 + 2b - 3)$. б) Выносим общий множитель $4x^2y$: $12x^3y^4 - 8x^2y^3 + 4x^3y = 4x^2y(3xy^3 - 2y^2 + x)$. 3. **Ответ: а) $x = 10$; б) $x_1 = 0, x_2 = -0,04$.** Решение: а) $(x - 2) · 8 = (3x + 1) · 6$ Разделим обе части на 2: $4(x - 2) = 3(3x + 1)$ $4x - 8 = 9x + 3$ $4x - 9x = 3 + 8$ $-5x = 11$ $x = -2,2$ б) $5x^2 + 0,2x = 0$ $x(5x + 0,2) = 0$ $x = 0$ или $5x + 0,2 = 0$ $5x = -0,2$ $x = -0,04$ 4. **Ответ: 12 км пешком и 12 км на лодке.** Решение: Пусть $x$ км — путь в одну сторону. Время пешком: $\frac{x}{4}$ ч, время на лодке: $\frac{x}{6}$ ч. $\frac{x}{4} + \frac{x}{6} = 5$ Приведем к общему знаменателю 12: $\frac{3x + 2x}{12} = 5$ $5x = 60$ $x = 12$ (км). 5. **Ответ: скорость 70 км/ч, расстояние 630 км.** Решение: Пусть $v$ — скорость поезда, тогда расстояние $S = 9v$. Новая скорость $(v + 20)$, расстояние $S = 7(v + 20)$. $9v = 7(v + 20)$ $9v = 7v + 140$ $2v = 140$ $v = 70$ (км/ч). $S = 70 · 9 = 630$ (км).