Основания равнобедренной трапеции равны 62 и 92, боковая сторона равна 39. Найдите длину диагонали трапеции.

33. **Ответ: 85** 1) Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $BC = 62$ и $AD = 92$, боковой стороной $AB = 39$. Проведём высоту $CH$. 2) Отрезок $HD$ в равнобедренной трапеции равен: $HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{92 - 62}{2} = 15$. 3) Отрезок $AH = AD - HD = 92 - 15 = 77$. 4) Из прямоугольного $\triangle CHD$ по теореме Пифагора найдём высоту $CH$: $CH^2 = CD^2 - HD^2 = 39^2 - 15^2 = (39-15)(39+15) = 24 \cdot 54 = 1296$, откуда $CH = 36$. 5) Из прямоугольного $\triangle ACH$ найдём диагональ $AC$: $AC^2 = AH^2 + CH^2 = 77^2 + 36^2 = 5929 + 1296 = 7225$, откуда $AC = \sqrt{7225} = 85$. 34. **Ответ: 70** 1) $HD = \frac{96 - 16}{2} = 40$; $AH = 96 - 40 = 56$. 2) $CH^2 = 58^2 - 40^2 = (58-40)(58+40) = 18 \cdot 98 = 1764$, откуда $CH = 42$. 3) $AC^2 = 56^2 + 42^2 = 3136 + 1764 = 4900$, откуда $AC = 70$. 35. **Ответ: 30** Если в параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов, то этот параллелограмм — ромб. В ромбе диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. 1) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. $AO = \frac{AC}{2} = \frac{72}{2} = 36$. 2) В прямоугольном $\triangle ABO$ ($AB=39, AO=36$): $BO^2 = AB^2 - AO^2 = 39^2 - 36^2 = (39-36)(39+36) = 3 \cdot 75 = 225$, откуда $BO = 15$. 3) $BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 15 = 30$. 36. **Ответ: 56** Это ромб. $AO = \frac{42}{2} = 21$. 1) $BO^2 = 35^2 - 21^2 = (35-21)(35+21) = 14 \cdot 56 = 784$, откуда $BO = 28$. 2) $BD = 2 \cdot 28 = 56$. 37. **Ответ: 52** Параллелограмм, диагонали которого делят углы пополам — ромб. 1) Половины диагоналей: $\frac{10}{2} = 5$ и $\frac{24}{2} = 12$. 2) Сторона ромба $a = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = 13$. 3) Периметр $P = 4a = 4 \cdot 13 = 52$. 38. **Ответ: 116** Это ромб. Половины диагоналей: 20 и 21. 1) Сторона $a = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$. 2) Периметр $P = 4 \cdot 29 = 116$. 39. **Ответ: 120** Если в параллелограмме диагонали равны ($AC = BD = 17$), то это прямоугольник. 1) Пусть $AB = 8$ — одна сторона. Найдём вторую сторону $AD$ из $\triangle ABD$ ($∠A=90^\circ$): $AD^2 = BD^2 - AB^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$, откуда $AD = 15$. 2) Площадь $S = AB \cdot AD = 8 \cdot 15 = 120$. 40. **Ответ: 240** Это прямоугольник ($AC=BD=26$). Одна сторона $AB=10$. 1) Вторая сторона $AD = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24$. 2) Площадь $S = 10 \cdot 24 = 240$.