Решите уравнение 3 sin(x/2) + √3 cos(x/2) = 3

**Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi n$ и $x = \pi + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$** **Решение:** Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$: $\frac{3}{2\sqrt{3}}\sin\frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\cos\frac{x}{2} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\frac{x}{2} + \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Используем формулу синуса суммы $\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta = \sin(\alpha + \beta)$, где $\cos\beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\beta = \frac{1}{2}$ (это соответствует углу $\beta = \frac{\pi}{6}$): $\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Данное уравнение распадается на два случая: 1) $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2) $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ $\frac{x}{2} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ $\frac{x}{2} = \frac{4\pi - \pi}{6} + 2\pi n$ $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ $x = \pi + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$