Толя задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа, но точно помнит, что их сумма равна 23, а про разность абсолютно уверен, что она меньше 11, но больше 7. Какие два числа задумал Толя? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

**Ответ: 15 и 8; 16 и 7.** **Решение:** Пусть $x$ и $y$ — задуманные натуральные числа ($x > y$). По условию: 1) $x + y = 23$ 2) $7 < x - y < 11$ Так как $x + y = 23$, то $x = 23 - y$. Подставим это в выражение для разности: $x - y = (23 - y) - y = 23 - 2y$. Разность чисел должна быть больше 7 и меньше 11. Между этими числами находятся целые числа 8, 9 и 10. Проверим каждое значение для разности $(x - y)$: 1. Если $x - y = 8$: $\begin{cases} x + y = 23 \\ x - y = 8 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2x = 31$, $x = 15,5$ (не подходит, так как числа натуральные). 2. Если $x - y = 9$: $\begin{cases} x + y = 23 \\ x - y = 9 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2x = 32$, $x = 16$. Тогда $y = 23 - 16 = 7$. **Пара чисел: 16 и 7.** 3. Если $x - y = 10$: $\begin{cases} x + y = 23 \\ x - y = 10 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2x = 33$, $x = 16,5$ (не подходит, так как числа натуральные). **Допущение:** В условии сказано, что разность «меньше 11, но больше 7». Если границы включаются (нестрогое неравенство «от 7 до 11»), то проверим крайние значения: 4. Если $x - y = 7$: $2x = 30$, $x = 15$. Тогда $y = 23 - 15 = 8$. **Пара чисел: 15 и 8.** 5. Если $x - y = 11$: $2x = 34$, $x = 17$. Тогда $y = 6$. (Но 11 не «меньше 11», поэтому этот вариант обычно не учитывают, если не указано «не более»). Так как сумма двух целых чисел и их разность всегда имеют одинаковую четность (их сумма $(x+y)+(x-y)=2x$ — четное число), а сумма 23 — нечетная, то и разность должна быть нечетной. В интервале $(7; 11)$ только одно нечетное число — 9. Если интервал $[7; 11]$, то добавляется число 7.