На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD = 6, DC = 19. Площадь треугольника ABC равна 150. Найдите площадь треугольника BCD.

15. **Ответ: 114** Решение: 1) Площадь треугольника $ABC$ равна $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h$, где $h$ — высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$. 2) Сторона $AC = AD + DC = 6 + 19 = 25$. 3) Из формулы площади: $150 = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot h$, откуда $h = \frac{150 \cdot 2}{25} = 12$. 4) Треугольник $BCD$ имеет ту же высоту $h = 12$, проведенную к прямой $AC$. Его площадь: $S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 19 \cdot 12 = 19 \cdot 6 = 114$. 16. **Ответ: 103** Решение: 1) Радиусы $OA$ и $OB$, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам угла, то есть $\angle OAC = 90^\circ$ и $\angle OBC = 90^\circ$. 2) В выпуклом четырехугольнике $AOBC$ сумма углов равна $360^\circ$. 3) $\angle AOB = 360^\circ - (\angle OAC + \angle OBC + \angle ACB) = 360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + 77^\circ) = 360^\circ - 257^\circ = 103^\circ$. 17. **Ответ: 28** Решение: 1) В ромбе противоположные углы равны, значит $\angle ADC = \angle ABC = 124^\circ$. 2) Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Значит, $\angle BCD = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$. 3) Диагональ ромба $AC$ является биссектрисой его углов. Тогда $\angle ACD = \angle BCD : 2 = 56^\circ : 2 = 28^\circ$.