Из точки, находящейся на расстоянии 10 см от прямой, проведены две наклонные, образующие с прямой углы 30° и 60°. Найдите расстояние между основаниями наклонных. Сколько решений имеет задача?

**Ответ:** задача имеет 2 решения. 1) $10\sqrt{3} + \frac{10\sqrt{3}}{3}$ см (наклонные в разные стороны); 2) $10\sqrt{3} - \frac{10\sqrt{3}}{3}$ см (наклонные в одну сторону). **Решение:** Пусть $A$ — точка вне прямой, $H$ — её проекция на прямую. Тогда $AH = 10$ см (перпендикуляр). Пусть $AB$ и $AC$ — наклонные. По условию $\angle ABH = 30^{\circ}$ и $\angle ACH = 60^{\circ}$. 1. Из прямоугольного $\triangle ABH$ найдём проекцию $BH$: $BH = AH \cdot \mathrm{ctg}(30^{\circ}) = 10 \cdot \sqrt{3}$ (см). 2. Из прямоугольного $\triangle ACH$ найдём проекцию $CH$: $CH = AH \cdot \mathrm{ctg}(60^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ (см). 3. Возможны два случая расположения наклонных относительно перпендикуляра: * **Случай 1:** Наклонные лежат по разные стороны от $AH$. Тогда расстояние между основаниями $BC = BH + CH$: $BC = 10\sqrt{3} + \frac{10\sqrt{3}}{3} = \frac{30\sqrt{3} + 10\sqrt{3}}{3} = \frac{40\sqrt{3}}{3}$ (см). * **Случай 2:** Наклонные лежат по одну сторону от $AH$. Тогда расстояние $BC = BH - CH$: $BC = 10\sqrt{3} - \frac{10\sqrt{3}}{3} = \frac{30\sqrt{3} - 10\sqrt{3}}{3} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$ (см).