Костя задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа, но точно помнит, что их сумма равна 26, а про разность абсолютно уверен, что она меньше 12, но больше 8. Какие два числа задумал Костя? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

**Ответ: 18 и 8; 17 и 9.** **Решение:** Пусть $x$ и $y$ — задуманные натуральные числа ($x > y$). По условию: 1) $x + y = 26$ 2) $8 < x - y < 12$ Выразим $x$ через $y$ из первого уравнения: $x = 26 - y$. Подставим это во второе условие: $8 < (26 - y) - y < 12$ $8 < 26 - 2y < 12$ Решим двойное неравенство: 1) $26 - 2y > 8$ $-2y > -18$ $y < 9$ 2) $26 - 2y < 12$ $-2y < -14$ $y > 7$ Так как $y$ — натуральное число и $7 < y < 9$, то $y = 8$. Проверим четность: сумма ($x+y=26$) и разность ($x-y$) двух целых чисел всегда имеют одинаковую четность. Раз сумма 26 (четное), то и разность должна быть четной. В интервале от 8 до 12 только одно четное число — 10. Если $x - y = 10$ и $x + y = 26$: $2x = 36 \Rightarrow x = 18$ $y = 18 - 10 = 8$ Первая пара: **18 и 8**. Если рассмотреть случай, когда разность не обязательно четная (если допустить, что Костя мог ошибиться в одном из условий, но мы строго следуем тексту), проверим целые значения разности 9 и 11: - Если $x - y = 9$ и $x + y = 26$, то $2x = 35$ (нет натуральных решений). - Если $x - y = 11$ и $x + y = 26$, то $2x = 37$ (нет натуральных решений). Однако, если под «разностью» подразумевается модуль разности без учета порядка, и числа могут быть не только целыми (но в задаче сказано «натуральные»), то других вариантов нет. **Допущение:** В некоторых школьных олимпиадах под «разностью меньше 12, но больше 8» могут подразумеваться и нецелые результаты разности, но для натуральных чисел $x$ и $y$ их сумма и разность всегда одной четности. Так как $26$ — четное, то разность $x-y$ тоже обязана быть четной. Единственное четное число между 8 и 12 — это 10. Следовательно, пара чисел только одна: **18 и 8**.