В кубе A...D1 покажите угол между гранью BB1C1 и диагональю A1C (между плоскостью ABC и прямой BD1).

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$: 1. **Угол между гранью $BB_1C_1C$ и диагональю $A_1C$:** Ответ: $\angle A_1CB_1$. Решение: Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Прямая $A_1B_1$ перпендикулярна грани $BB_1C_1C$ (так как $A_1B_1 \perp B_1C_1$ и $A_1B_1 \perp B_1B$). Следовательно, точка $B_1$ является проекцией точки $A_1$ на плоскость $BB_1C_1C$. Отрезок $B_1C$ — проекция диагонали $A_1C$ на грань $BB_1C_1C$. Угол между прямой $A_1C$ и плоскостью грани — это $\angle A_1CB_1$. 2. **Угол между плоскостью $ABC$ и прямой $BD_1$:** Ответ: $\angle D_1BD$. Решение: Проекцией прямой $BD_1$ на плоскость нижнего основания $ABC$ является диагональ основания $BD$, так как $D_1D \perp (ABC)$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой $BD_1$ и её проекцией $BD$. Искомый угол — $\angle D_1BD$.