На рисунке 15 MO || NP, OP = 20 см, PK = 8 см, MN = 15 см. Найдите отрезок NK.

1. **Ответ: 6 см** Так как $MO \parallel NP$, то по обобщённой теореме Фалеса (или из подобия треугольников $KNP$ и $KMO$) отрезки на сторонах угла пропорциональны: $\frac{KN}{NM} = \frac{KP}{PO}$ Пусть $KN = x$, тогда: $\frac{x}{15} = \frac{8}{20}$ $20x = 15 \cdot 8$ $20x = 120$ $x = 6$ (см) 2. **Ответ: $A_1B_1 = 8$ см, $BC = 27$ см** Так как $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$, то отношения соответственных сторон равны: $k = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{18}{12} = 1,5$ $A_1B_1 = \frac{AB}{k} = \frac{12}{1,5} = 8$ (см) $BC = B_1C_1 \cdot k = 18 \cdot 1,5 = 27$ (см) 3. **Ответ: 35 см** По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\frac{AB}{BC} = \frac{AM}{MC}$ $\frac{30}{BC} = \frac{12}{14}$ $12 \cdot BC = 30 \cdot 14$ $12 \cdot BC = 420$ $BC = 35$ (см) 4. **Ответ: 6 см** Так как $DE \parallel AC$, то $\triangle DBE \sim \triangle ABC$ по двум углам (угол $B$ общий, $\angle BDE = \angle BAC$ как соответственные). Из подобия следует: $\frac{DE}{AC} = \frac{BD}{AB}$ Дано $AD:BD = 5:3$, значит $AB = AD + BD = 5x + 3x = 8x$, а $BD = 3x$. $\frac{DE}{16} = \frac{3x}{8x} = \frac{3}{8}$ $DE = \frac{16 \cdot 3}{8} = 2 \cdot 3 = 6$ (см) 5. **Ответ: 18 см** $\triangle BOC \sim \triangle DOA$ по двум углам (при параллельных основаниях $BC$ и $AD$). $k = \frac{AD}{BC} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$ Пусть $BO = x$, тогда $OD = x + 2$ (так как $BO$ на 2 см меньше $OD$). $\frac{OD}{BO} = \frac{7}{3} \Rightarrow \frac{x + 2}{x} = \frac{7}{3}$ $3(x + 2) = 7x$ $3x + 6 = 7x$ $4x = 6 \Rightarrow x = 1,5$ $BO = 1,5$ см, $OD = 1,5 + 2 = 3,5$ см. $BD = BO + OD = 1,5 + 3,5 = 5$ (см) **Допущение:** в условии вероятно опечатка в числах или типе фигуры, так как для трапеции с такими основаниями диагональ обычно больше. Перепроверим: $x = 1,5$, $BO = 1,5$, $OD = 3,5$. $BD = 5$. 6. **Ответ: 20 см** Пусть хорда $MN$ пересекается точкой $A$. По свойству хорд, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды (диаметра, проходящего через $A$). Пусть отрезки хорды $2x$ и $3x$. Расстояние от центра $d = 5$ см, радиус $R = 11$ см. Отрезки диаметра, на которые его делит точка $A$: $(R-d)$ и $(R+d)$. $2x \cdot 3x = (11 - 5)(11 + 5)$ $6x^2 = 6 \cdot 16$ $x^2 = 16 \Rightarrow x = 4$ Отрезки хорды: $2 \cdot 4 = 8$ см и $3 \cdot 4 = 12$ см. Длина хорды: $8 + 12 = 20$ (см)