В кубе A...D1 найдите угол между прямой A1B и плоскостью BCC1.

**Ответ: 90^{\circ}** Решение: 1. В кубе ребро $A_1B_1$ перпендикулярно грани $BCC_1B_1$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым этой грани ($B_1B$ и $B_1C_1$). 2. Следовательно, точка $B_1$ является ортогональной проекцией точки $A_1$ на плоскость $BCC_1$. 3. Прямая $A_1B$ пересекает плоскость $BCC_1$ в точке $B$. Значит, проекцией прямой $A_1B$ на плоскость $BCC_1$ является прямая $B_1B$. 4. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. В данном случае это $\angle A_1BB_1$. 5. Рассмотрим треугольник $A_1B_1B$. Он прямоугольный ($\angle A_1B_1B = 90^{\circ}$), так как ребро куба перпендикулярно грани. 6. Кроме того, $A_1B_1 = B_1B$ (все рёбра куба равны), значит, $\triangle A_1B_1B$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. 7. В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны $45^{\circ}$. Таким образом, $\angle A_1BB_1 = 45^{\circ}$.