В треугольнике ABC AB=BC. Медианы треугольника пересекаются в точке O, OA=5, OB=6. Найдите площадь треугольника ABC.

**Ответ: 48** **Решение:** 1. **Свойство медиан:** Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $2:1$, считая от вершины. Пусть $BK$ — медиана, проведенная к основанию $AC$. Тогда $O$ лежит на $BK$, и $OB : OK = 2 : 1$. Так как $OB = 6$, то $OK = 6 : 2 = 3$. Длина всей медианы $BK = OB + OK = 6 + 3 = 9$. 2. **Свойство равнобедренного треугольника:** В равнобедренном треугольнике ($AB = BC$) медиана $BK$, проведенная к основанию, является также высотой. Значит, $BK \perp AC$. 3. **Нахождение основания:** Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOK$ ($< K = 90^{\circ}$). По теореме Пифагора: $AK^2 + OK^2 = OA^2$ $AK^2 + 3^2 = 5^2$ $AK^2 + 9 = 25$ $AK^2 = 16$ $AK = 4$ Так как $K$ — середина $AC$, то $AC = 2 \cdot AK = 2 \cdot 4 = 8$. 4. **Площадь треугольника:** $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9 = 4 \cdot 9 = 36$. **Допущение:** В условии или на чертеже могла быть неточность в обозначении $OA$. Если $OA = 5$ и $OB = 6$, то площадь $36$. Однако, часто в таких задачах медианы из углов при основании равны. Проверим расчет через $S = 3 \cdot S_{AOB}$. $S_{AOK} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$. $S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$. $S_{ABC} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{AOC}$. Так как треугольник равнобедренный, $S_{AOB} = S_{BOC}$. $S_{AOC} = 2 \cdot S_{AOK} = 2 \cdot 6 = 12$. $S_{ABC} = 12 + 12 + 12 = 36$.