Через точку (1;1) и начало координат проходит парабола, ветви которой направлены вниз. Найдите наименьшую площадь фигуры, ограниченной параболой и осью абсцисс.

Пусть уравнение параболы имеет вид $y = ax^2 + bx$. Так как парабола проходит через начало координат $(0;0)$, свободный член $c=0$. Так как она проходит через точку $(1;1)$, имеем: $1 = a(1)^2 + b(1)$, откуда $b = 1 - a$. Уравнение параболы: $y = ax^2 + (1-a)x$. Ветви параболы направлены вниз, значит $a < 0$. Корни уравнения $ax^2 + (1-a)x = 0$: $x(ax + 1 - a) = 0 ightarrow x_1 = 0, x_2 = ?rac{a-1}{a} = 1 - ?rac{1}{a}$. Так как $a < 0$, то $1 - ?rac{1}{a} > 1$, значит отрезок интегрирования $[0; 1 - ?rac{1}{a}]$. Площадь фигуры $S$ равна: $S = \int_{0}^{1-\frac{1}{a}} (ax^2 + (1-a)x) dx = \left[ \frac{a x^3}{3} + \frac{(1-a)x^2}{2} \right]_{0}^{1-\frac{1}{a}} = \left( 1 - \frac{1}{a} \right)^2 \left( \frac{a(1-\frac{1}{a})}{3} + \frac{1-a}{2} \right) = \dots = \frac{1}{6} (1 - \frac{1}{a})^2 (1-a) = \frac{(a-1)^3}{6a^2}$. Для поиска минимума площади рассмотрим функцию $f(a) = \frac{(a-1)^3}{6a^2}$ при $a < 0$. Исследуем производную: $f'(a) = \frac{1}{6} \cdot \frac{3(a-1)^2 a^2 - 2a(a-1)^3}{a^4} = \frac{(a-1)^2}{6a^3} (3a - 2(a-1)) = \frac{(a-1)^2(a+2)}{6a^3}$. Критическая точка $a = -2$ (так как $a<0$). При $a < -2$ производная $f'(a) > 0$, при $-2 < a < 0$ производная $f'(a) < 0$. В точке $a = -2$ функция имеет максимум, а не минимум. Однако площадь фигуры при $a o -\infty$ стремится к $\infty$, а при $a o 0$ (ветви очень узкие, но площадь также растет из-за растяжения интервала). Перепроверим условие: задача «найдите наименьшую площадь» для такой параболы может не иметь глобального минимума в открытом интервале $a < 0$ или ограничена контекстом задачи. Если подразумевается классическая школьная задача, возможно, допущена опечатка в условии (например, площадь треугольника или другая точка). В данной формулировке площадь $S(a) = \frac{(a-1)^3}{6a^2}$ при $a \in (-\infty, 0)$ не имеет минимума, она возрастает при стремлении к нулю и при стремлении к $-\infty$.