В треугольнике ABC AB = BC. Медианы треугольника пересекаются в точке O, OA = 5, OB = 6. Найдите площадь треугольника ABC.

Ответ: 48 1. **Свойство медиан**: Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении $2:1$, считая от вершины. Так как медианы пересекаются в точке $O$, то для медианы, выходящей из вершины $B$ (обозначим её $BK$), верно: $OB = \frac{2}{3} BK \Rightarrow 6 = \frac{2}{3} BK \Rightarrow BK = 9$. Отрезок $OK = BK - OB = 9 - 6 = 3$. 2. **Свойства равнобедренного треугольника**: Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ — равнобедренный. Медиана $BK$, проведённая к основанию $AC$, также является высотой ($BK \perp AC$). 3. **Нахождение основания**: В прямоугольном треугольнике $AOK$ (где $\angle AKO = 90^\circ$): По теореме Пифагора $AK^2 + OK^2 = OA^2$. $AK^2 + 3^2 = 5^2$ $AK^2 = 25 - 9 = 16$ $AK = 4$. Так как $K$ — середина $AC$, то $AC = 2 \cdot AK = 2 \cdot 4 = 8$. 4. **Площадь треугольника**: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9 = 36$. **Допущение**: В условии $OA=5$ и $OB=6$ приводит к площади 36. Однако, если под $OA$ подразумевалась вся медиана, ответ изменится. Исходя из текста «$OA=5$» как расстояния до точки пересечения, расчет выше верен. *Перепроверка*: Если $S = 36$, то площадь треугольника $AOB$ должна составлять $\frac{1}{3}$ от всей площади (свойство точки пересечения медиан): $S_{AOB} = \frac{1}{3} \cdot 36 = 12$. С другой стороны, в $\triangle AOB$ высота к стороне $OB$ равна $AK=4$: $S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$. Данные согласованы.