Преобразуйте выражение 5 cos α + 12 sin α

Question

Вопрос:

Преобразуйте выражение 5 cos α + 12 sin α

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Допущение:** Требуется преобразовать выражение вида $a \cos \alpha + b \sin \alpha$ методом введения вспомогательного угла. **Ответ: $13 \sin(\alpha + \varphi)$, где $\sin \varphi = \frac{5}{13}, \cos \varphi = \frac{12}{13}$** **Решение:** Для выражения $a \sin \alpha + b \cos \alpha$ вынесем за скобки множитель $\sqrt{a^2 + b^2}$. 1. Вычислим коэффициент: $\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ 2. Преобразуем выражение: $5 \cos \alpha + 12 \sin \alpha = 13 \left( \frac{12}{13} \sin \alpha + \frac{5}{13} \cos \alpha \right)$ 3. Пусть $\cos \varphi = \frac{12}{13}$ и $\sin \varphi = \frac{5}{13}$. Тогда, используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \varphi) = \sin \alpha \cos \varphi + \cos \alpha \sin \varphi$, получим: $13(\sin \alpha \cos \varphi + \cos \alpha \sin \varphi) = 13 \sin(\alpha + \varphi)$ Где $\varphi = \arcsin \frac{5}{13}$.

Преобразуйте выражение 5 cos α + 12 sin α

Ответ ассистента

Другие решения