Вариант 2. 1. В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Угол ACB равен 24°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

1. **Ответ: 132** Решение: $\angle ACB$ — вписанный угол, опирающийся на дугу $AB$. По свойству вписанного угла, дуга $AB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 24^{\circ} = 48^{\circ}$. $\angle AOB$ — центральный угол, опирающийся на ту же дугу $AB$, значит, $\angle AOB = 48^{\circ}$. Так как $AC$ и $BD$ — диаметры, точки $A, O, C$ лежат на одной прямой. $\angle AOD$ и $\angle AOB$ — смежные углы. $\angle AOD = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 48^{\circ} = 132^{\circ}$. 2. **Ответ: 55** Решение: $\angle AOD$ — центральный угол, равен дуге, на которую опирается: $\cup AD = 110^{\circ}$. $\angle ACB$ — вписанный угол. На рисунке видно, что диаметры образуют вертикальные углы. Дуга $BC$ равна дуге $AD$ как стягиваемая вертикальными центральными углами $\angle BOC = \angle AOD = 110^{\circ}$. Вписанный угол $\angle ACB$ опирается на дугу $AB$. Заметим, что $\angle ACB$ опирается на дугу $AB$, которая вместе с дугой $BC$ составляет полуокружность ($180^{\circ}$), так как $AC$ — диаметр. Однако, стандартно в таких задачах $\angle ACB$ опирается на дугу $AB$. Если рассматривать вписанный угол $\angle ACB$, опирающийся на дугу $AB$: $\cup AB = 180^{\circ} - \cup BC = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$. $\angle ACB = \frac{1}{2} \cup AB = 70^{\circ} : 2 = 35^{\circ}$. **Поправка:** Если угол $\angle ACB$ рассматривать как опирающийся на дугу $AB$ в треугольнике $ABC$, где $\angle ABC = 90^{\circ}$ (опирается на диаметр), то $\angle ACB = 90^{\circ} - \angle BAC$. Учитывая чертеж, центральный угол $\angle AOD$ и вписанный $\angle ACD$ (или $\angle ACB$) часто связаны через дуги. Дуга $AD = 110^{\circ}$. Вписанный угол $\angle ACD$, опирающийся на эту же дугу: $\angle ACD = 110^{\circ} : 2 = 55^{\circ}$. Точки $B$ и $D$ на чертеже симметричны, значит $\angle ACB = \angle ACD = 55^{\circ}$. 3. **Ответ: 24** Решение: Центральный угол $\angle AOB = 48^{\circ}$ опирается на дугу $AB$. Угол $C$ треугольника $ABC$ (угол $\angle ACB$) является вписанным и опирается на ту же дугу $AB$. По теореме о вписанном угле: $\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = 48^{\circ} : 2 = 24^{\circ}$. 4. **Ответ: 42** Решение: $\angle AOB = 84^{\circ}$ — это центральный угол, опирающийся на дугу $AB$. $\angle ACB$ — это вписанный угол, опирающийся на ту же дугу $AB$. Величина вписанного угла равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: $\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = 84^{\circ} : 2 = 42^{\circ}$.