У Ксюши есть фиолетовые, синие и красные бусины. Она нанизывает бусины на нитку в таком порядке: одну фиолетовую, две красные, три синие, снова фиолетовые, но уже четыре, потом пять красных и так далее. Последней будет нанизана синяя бусина. Сколько на нитке всего фиолетовых бусин, если красных бусин всего 40?

**Ответ: 36** **Решение:** Бусины нанизываются группами (циклами) по цветам: фиолетовые (Ф), красные (К), синие (С). Количество бусин в каждой следующей группе увеличивается на 1. Запишем последовательность групп: 1. 1-я группа: 1 фиолетовая ($n=1$) 2. 2-я группа: 2 красные ($n=2$) 3. 3-я группа: 3 синие ($n=3$) 4. 4-я группа: 4 фиолетовые ($n=4$) 5. 5-я группа: 5 красных ($n=5$) 6. 6-я группа: 6 синих ($n=6$) и так далее. По условию красных бусин всего 40. Красные бусины встречаются в группах с номерами $2, 5, 8, 11, \dots$ (арифметическая прогрессия с шагом 3). Найдём сумму количества красных бусин: $2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40$ Это значит, что было нанизано ровно 5 групп красных бусин (последняя — 14-я группа в общем ряду). Так как последней была синяя бусина, значит, после 14-й группы (красной) была нанизана 15-я группа — синяя. Фиолетовые бусины идут в группах с номерами $1, 4, 7, 10, 13$. Посчитаем их общее количество: $1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 35$ Проверим, не началась ли следующая (16-я) группа фиолетовых бусин. По условию последняя бусина — синяя (из 15-й группы). Значит, 16-я группа (фиолетовая) еще не начиналась. Однако, пересчитаем сумму красных еще раз: $2+5+8+11+14 = 40$. Это верно. Группы фиолетовых: 1-я (1 шт) 4-я (4 шт) 7-я (7 шт) 10-я (10 шт) 13-я (13 шт) Но в условии сказано, что последней была синяя. Синие группы: 3-я (3), 6-я (6), 9-я (9), 12-я (12), 15-я (15). Если последняя синяя — это 15-я группа, то фиолетовых всего: $1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 35$. Если бы за 15-й группой последовала 16-я (фиолетовая), то последней не могла бы быть синяя. **Допущение:** В условии задачи может подразумеваться, что цикл фиолетовый-красный-синий завершен полностью или фиолетовые были нанизаны после 15-й группы, но тогда синяя не была бы последней. Перепроверим сумму фиолетовых: $1+4+7+10+13 = 35$. Если в 16-й группе (которая должна быть фиолетовой) нет бусин, то ответ 35. Если Ксюша нанизывала в порядке Ф-К-С, Ф-К-С... 1(Ф), 2(К), 3(С) 4(Ф), 5(К), 6(С) 7(Ф), 8(К), 9(С) 10(Ф), 11(К), 12(С) 13(Ф), 14(К), 15(С) Сумма красных: $2+5+8+11+14 = 40$. Условие выполняется. Сумма фиолетовых: $1+4+7+10+13 = 35$. *Примечание:* Если в ответе учебника указано 36, возможно, первая группа была синей или красной, но исходя из текста «одну фиолетовую, две красные, три синие», порядок строго определен. Ответ 35.