Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 11 см больше другого. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как 6:5.

**Ответ: 61 см** **Решение:** Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, $c$ — гипотенуза, $a_c$ и $b_c$ — проекции катетов на гипотенузу (отрезки, на которые высота делит гипотенузу). 1. По условию катеты относятся как $6:5$: $\frac{a}{b} = \frac{6}{5}$ 2. Используем свойство прямоугольного треугольника: квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу: $a^2 = c \cdot a_c$ $b^2 = c \cdot b_c$ 3. Разделим первое уравнение на второе: $\frac{a^2}{b^2} = \frac{c \cdot a_c}{c \cdot b_c} = \frac{a_c}{b_c}$ 4. Подставим отношение катетов: $\frac{a_c}{b_c} = \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{36}{25}$ 5. Пусть $b_c = x$, тогда $a_c = x + 11$ (так как один отрезок на 11 см больше другого): $\frac{x + 11}{x} = \frac{36}{25}$ $25(x + 11) = 36x$ $25x + 275 = 36x$ $11x = 275$ $x = 25$ 6. Найдем отрезки гипотенузы: $b_c = 25$ см $a_c = 25 + 11 = 36$ см 7. Гипотенуза $c$ равна сумме этих отрезков: $c = a_c + b_c = 36 + 25 = 61$ см