Լուծել լոգարիթմական հավասարումները: ա) log₅(x-2)=1+log₅25, բ) log₃²x-2log₃x=3, գ) lgx²=lg(10x-25)

1. Լուծել լոգարիթմական հավասարումները (Решите логарифмические уравнения): ա) $\log_5 (x - 2) = 1 + \log_5 25$ **Ответ: 127** 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$. 2. Вычислим правую часть: $\log_5 25 = 2$ (так как $5^2 = 25$). 3. Уравнение примет вид: $\log_5 (x - 2) = 1 + 2 = 3$. 4. По определению логарифма: $x - 2 = 5^3$. 5. $x - 2 = 125$. 6. $x = 127$. *Перевод: ա) $\log_5 (x - 2) = 1 + \log_5 25$* բ) $\log_3^2 x - 2\log_3 x = 3$ **Ответ: 27; \frac{1}{3}** 1. ОДЗ: $x > 0$. 2. Пусть $\log_3 x = t$. Тогда уравнение станет квадратным: $t^2 - 2t - 3 = 0$. 3. По теореме Виета: $t_1 = 3$ $t_2 = -1$ 4. Вернёмся к замене: - $\log_3 x = 3 \Rightarrow x = 3^3 = 27$ - $\log_3 x = -1 \Rightarrow x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$ *Перевод: բ) $\log_3^2 x - 2\log_3 x = 3$* գ) $\lg x^2 = \lg (10x - 25)$ **Ответ: 5** 1. ОДЗ: $\begin{cases} x^2 > 0 \Rightarrow x \neq 0 \\ 10x - 25 > 0 \Rightarrow x > 2,5 \end{cases}$ Итого: $x > 2,5$. 2. Так как логарифмы равны, равны и их аргументы: $x^2 = 10x - 25$. 3. Перенесём всё в левую часть: $x^2 - 10x + 25 = 0$. 4. Заметим формулу квадрата разности: $(x - 5)^2 = 0$. 5. $x = 5$. 6. Корень $x = 5$ удовлетворяет ОДЗ. *Перевод: գ) $\lg x^2 = \lg (10x - 25)$*