707. Решите систему уравнений, используя способ сложения или подстановки:

707. Решите систему уравнений, используя способ сложения или подстановки: а) Ответ: $(2; 1), (2; -1), (-2; 1), (-2; -1)$ $\begin{cases} 2x^2 + y^2 = 9 \\ x^2 - y^2 = 3 \end{cases}$ Сложим уравнения: $3x^2 = 12 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -2$. Подставим $x^2 = 4$ во второе уравнение: $4 - y^2 = 3 \Rightarrow y^2 = 1 \Rightarrow y_1 = 1, y_2 = -1$. б) Ответ: $(4; -1), (4,125; -0,5)$ $\begin{cases} 2x^2 - xy = 33 \\ 4x - y = 17 \end{cases}$ Выразим $y$ из второго: $y = 4x - 17$. Подставим в первое: $2x^2 - x(4x - 17) = 33 \Rightarrow 2x^2 - 4x^2 + 17x - 33 = 0 \Rightarrow -2x^2 + 17x - 33 = 0$ $2x^2 - 17x + 33 = 0$. $D = 289 - 264 = 25$. $x = \frac{17 \pm 5}{4}$. $x_1 = 5,5, x_2 = 3$. При $x_1 = 5,5$: $y_1 = 4 \cdot 5,5 - 17 = 5$. При $x_2 = 3$: $y_2 = 4 \cdot 3 - 17 = -5$. **Допущение:** В учебнике часто опечатки, пересчитаем корни: $(5,5; 5), (3; -5)$. в) Ответ: $(1; 1), (-1; 1)$ $\begin{cases} 3x^2 - 2y = 1 \\ 2x^2 - y^2 = 1 \end{cases}$ Из первого $2y = 3x^2 - 1 \Rightarrow y = 1,5x^2 - 0,5$. Подставим во второе: $2x^2 - (1,5x^2 - 0,5)^2 = 1 \Rightarrow 2x^2 - (2,25x^4 - 1,5x^2 + 0,25) = 1$ $-2,25x^4 + 3,5x^2 - 1,25 = 0$. Пусть $x^2 = t$: $2,25t^2 - 3,5t + 1,25 = 0$. $D = 12,25 - 11,25 = 1$. $t_1 = 1, t_2 = \frac{5}{9}$. Если $x^2 = 1$, то $x = \pm 1, y = 1,5 - 0,5 = 1$. Если $x^2 = \frac{5}{9}$, то $x = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}, y = 1,5 \cdot \frac{5}{9} - 0,5 = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{3}$. г) Ответ: $(2,5; -1,5), (1,5; -2,5)$ $\begin{cases} x - y = 4 \\ x^2 + y^2 = 8,5 \end{cases}$ $x = y + 4$. Подставим: $(y+4)^2 + y^2 = 8,5 \Rightarrow y^2 + 8y + 16 + y^2 - 8,5 = 0 \Rightarrow 2y^2 + 8y + 7,5 = 0$. $4y^2 + 16y + 15 = 0. D = 256 - 240 = 16. y = \frac{-16 \pm 4}{8}$. $y_1 = -1,5, y_2 = -2,5$. $x_1 = 2,5, x_2 = 1,5$. д) Ответ: $(2; 2), (-4; -0,5)$ $\begin{cases} x^2 + 4y = 10 \\ x - 2y = -5 \end{cases}$ $2y = x + 5 \Rightarrow 4y = 2x + 10$. Подставим: $x^2 + 2x + 10 = 10 \Rightarrow x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x+2) = 0$. $x_1 = 0, x_2 = -2$. Если $x_1 = 0, y_1 = 2,5$. Если $x_2 = -2, y_2 = 1,5$. е) Ответ: $(1; 1), (-1,2; -0,1)$ $\begin{cases} x - 2y = -1 \\ 5xy + y^2 = 16 \end{cases} \Rightarrow x = 2y - 1$. $5(2y - 1)y + y^2 = 16 \Rightarrow 10y^2 - 5y + y^2 - 16 = 0 \Rightarrow 11y^2 - 5y - 16 = 0$. $D = 25 + 704 = 729 = 27^2. y_1 = \frac{5+27}{22} = \frac{32}{22} = \frac{16}{11}, y_2 = -1$. Если $y_2 = -1, x_2 = -3$. Если $y_1 = \frac{16}{11}, x_1 = \frac{32}{11} - 1 = \frac{21}{11}$.